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漫谈椭圆的几何性质——画切线的三种方法

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假设我们已经通过焦点、准线的方式画好了一个椭圆，如下图所

示。其中点F为焦点，l为准线。A和A是椭圆与轴的交点，被称其为

顶点。现在在椭圆上任取一点P，那么我们如何只利用焦点和准线来作

出椭圆在点P处的切线呢?

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首先回顾以前讲过的两种过椭圆上的点作椭圆切线的方法。一种

是找出另一焦点F，分别连接FP和FP，得到角FPF。作角FPF的平

分线，再过点P作角平分线的垂线，则这条垂线就是所要求作的切线。

另一种方法是以椭圆中心为圆心，以两顶点距离AA的一半为半径作

圆，这个圆与过点P且垂直于轴的直线交于点Q，作过点Q的圆的切

线（与半径垂直，当然很容易作出），切线与轴交于点S。连接SP。

则SP即为所求椭圆过点P的切线。具体参见文章：《如何过椭圆上一

点作切线》（点它）。

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下面讲今天的新方法：这个方法最为简单。一两句话就可以说明

白。

如下图所示。连接PF。过F作PF的垂线，与准线l交于点R，连

接RP。RP即为所求的切线。

那为什么呢？来看下面这张图。图展示了我们上一讲所介绍过的

椭圆的一条重要几何性质：椭圆上两点P和Q的连线PQ的延长线与

准线交于点T。连接FP，FQ，FT。则FT为三角形PFQ角F的外角

QFP的平分线。（具体证明请阅读上一讲内容。）

现在，让点Q沿椭圆向着点P的方向运动，显然，角QFP将逐渐

增大，当Q与P重合时，这个外角就变为平角。平角的平分线FT变为

直角。也就是FT垂直于PF。而当Q与P重合时，直线PQT就变为椭

圆的切线，它是过点P的切线，为所求。下图所示点Q已经比较接近

点P了。

另外，如下图所示，延长PF，与椭圆交于点P，得到焦点弦PFP。

则RP也是椭圆的切线，切点为P。也就是说，过焦点弦两个端点的切

线及过点F且与PFP垂直的直线，这三条线交于准线上。如下图所示。

（让点P动起来，则P当然跟着动，两条切线也在变化，过焦点F的

垂线也在变化，这三条线交于准线上的一点。这个三线交点在准线上

变化，但不离开准线。）

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