(5)--3.1 N维向量及其线性相关性.ppt

第3章线性方程组;主要内容;§3.1n维向量及其线性相关性;一个n元方程;例1点的坐标;例2力、速度、加速度;例3n元方程组的解;例4球的大小和位置;例6在国民经济中的应用;向量通常写成一行：;如果n个分量全为零，叫做零向量，用0表示。;(2)?与?之和:?+?=(a1+b1,a2+b2,?,an+bn)。;加法满足4条运算律：;??,??Fn,??,??F有：

1?=?；

?(??)=(??)?；

?(?+?)=??+??；(?+?)?=??+??。;称为向量?1,?2,…,?m的线性组合，或?可用?1,?2,…,?m

线性表示。;例设?1=(1,2,-1,2)T,?2=(2,4,1,1)T,;解;是否有解.;线性方程组的三种形式;形式二矩阵形式;形式三向量形式;在R3中，任一向量?=(a1,a2,a3)可由基本向量

e1=(1,0,0),e2=(0,1,0),e3=(0,0,1)线性表示为

?=a1e1+a2e2+a3e3;定义3.5设?1,?2,…,?m?Rn,如果存在不全为零的

?1,?2,…,?m?R,使 ;例如:向量组;?1?1+?2?2+…+?m?m=0;例1Rn中的e1,e2,…,en是线性无关的。

其中ei=(0,…,0,1,0,…,0)是第i个分量为1(i=1,2,,…,n）其余分量全为零的向量。;注意:(1)单个向量?线性相关的充分必要条件是：

?为零向量

因为???0使??=0成立的充要条件是?=0；

(2)两个非零向量?，?线性相关的充分必要条件是：

?，?成比例

即存在?＝k?或?＝l?。

(3)R3中三个向量?，?，?线性相关的充分必要条件是

?，?，?共面;例2含零向量的任何向量组{0,?1,?2,…,?m}都线性相关。因为

1·0+0?1+0?2+…+0?n=0;例如，?1=(1,?2,1)T,?2=(?2,4,?2)T,?3=(1,1,3)T。

因为?1,?2线性相关（成比例），所以，?1,?2,?3线性相关。

例3的等价命题是：

线性无关向量组的任一子集（任一部分向量）都线性无关。

总之：向量组部分线性相关，则整体线性相关；

整体线性无关，则任一部分都线性无关。;定理3.2设?1,?2,…,?s?Fn,其中

?1=(a11,a21,…,an1)T,?2=(a12,a22,…,an2)T,…,?s=(a1s,a2s,…ans)T,

则?1,?2,…,?s线性相关的充要条件是s元线性齐次方程组

Ax=0

有非零解,其中;?1,?2,…,?s线性无关的充要条件是Ax=0 只有零解。;证：由于向量组{?,?1,?2,…,?r}线性相关，

所以存在不全为零的数?,?1,?2,…,?r使得;于是，(b1?c1)?1+(b2?c2)?2+…+(br?cr)?r=0;这是因为Rn中任何n+1个向量都线性相关。

故?,?1,?2,…,?n线性相关，

由定理3.3，向量?可由?1,?2,…,?n线性表示，且表示法唯一;例4(1)a取何值时，?1=(1,3,6,2)T,?2=(2,1,2,?1)T,?3=(1,?1,a,?2)T线性无关？

(2)a=?2时，?3可否由?1,?2线性表示？若可以，求表示式。 ;解(1)设 x1?1＋x2?2＋x3?3＝0 (*) ;解(2)设 ?3＝x1?1＋x2?2 (**) ;例5若;思考：由定理3.2，若向量组{?1,?2,…,?r}线性无关,对每一个?i各增加m个分量得到的向量组{?1,?2,…,?r}也线性无关。其逆否命题是