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实变函数与泛函分析郭懋正答案

【篇一：北京大学数学科学学院双学位课程介绍(4)】

课程类型：数、统/必修课每周3学时，3学分

先修要求：高等数学〔两学期〕

基本目的：

1.实数与极限的理论、函数的可积性、函数列与函数级数一致收敛

性的基本知识。

2.培养学生的抽象思维和推理能力，加深学生对微积分的理论基础

的了解，为进一步学习后续数学课程作必要的理论准备。

内容提要：

一.实数与极限的理论

1.实数理论初步。

2.确界存在定理，区间套定理，聚点。

〔序列紧，有限覆盖，一致连续〕。

〔哥西基本列，实数的另一种定义〕。

5.上极限与下极限。

二．连续函数

1.连续函数的基本性质

2.闭区间上连续函数的性质

3.一致连续。

三.函数的可积性

学习文档仅供参考

1.达布和，上积分与下积分。

2.函数可积分的充要条件。

四.函数列与函数级数的一致收敛性

北京大学数学科学学院*双学位课程介绍*

1.一致收敛性及其判别法。

2.一致收敛函数列极限函数的性质。

教学方式：课堂讲授

教材或参考书：

1.教材：?数学分析?〔双学位〕讲义伍胜健

2.参考书：?数学分析简明教程?邓东皋等高等教育出版社

课程编号课程名称：实变函数

课程类型：数、统/必修课每周2学时，2学分

先修要求：高等数学，线性代数

基本目的：

1.熟悉欧氏空间中lebesgue测度，lebesgue积分的基本理论。

〔rn〕空间理论。

3.熟悉hilbert空间，banach空间的基本理论。

内容提要：

1.lebesgue测度与lebesgue积分：

lebesgue可测集，可测函数，lebesgue积分，

lebesgue积分的极限定理。

学习文档仅供参考

〔rn〕空间：

l2空间的基本理论

教学方式：课堂讲授

教材：《实变函数与泛函分析》郭懋正北京大学出版

学生成绩评定：平时作业15分，期中考试25分，期末考试60分。

北京大学数学科学学院*双学位课程介绍*课程编号：课程名称：概率论

课程类型：数、统/必修课每周4+1学时，5学分

先修要求：微积分，线性代数〔或相当高等数学〕

基本目的：

1.本课程的目的是引导学生学习用数学的语言，来刻划、表达与抽

象随机现象，着重在随机现象的“建模”。同时，这一课程也使学生

对已学过的集合论、微积分、高等代数等数学知识有运用的时机，

在提高学生分析问题，解决问题的能力方面是一个很好操练时机。

2.重点放在随机现象的刻划，形成概率空间的概念。例如在概率空

间这一部份，重在由等可能性分析过到一般的概率空间。对随机变

量，重点也在要学生掌握它的统计特征的刻划方法。对于

古典概型不宜过多陷于排列组合的计算技巧。

内容提要：

1.随机事件及其概率

1)概率的素朴定义。

2)古典概型。

3)事件的集合表达，事件运算与集合运算的对应。

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4)概率的加法公式。

5)概率的公理化定义及概率的主要性质。

6)条件概率〔对正概率事件的条件概率〕与全概公式。

7)独立性。

1)离散型随机变量及其取值时机的描述。

北京大学数学科学学院*双学位课程介绍*

2)连续型随机变量及其取值时机的描述。

3)分布函数。

4)随机变量函数的分布〔简单情形〕。

5)随机变量定义的抽象。

〔向量〕

1)n维随机向量统计特征的刻划。

2)联合分布与边缘分布。

3)独立性。

4)随机变量函数的分布〔多维〕。

5)n维正态分布。

6)条件分布。

7)次序统计量。

1)期望〔概率加权平均概念的抽象〕。

2)随机变量函数的期望公式。

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3)方差、协方差与相关系数。

4)条件期望。

1)大数定律与切比雪夫不等