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高中数学必修三角函数的图像与性质

高一数学辅导三角函数（四）

【三角函数的图像与性质】

考点1求与三角函数有关的函数的定义域

【例1】(1)求下列函数的定义域：

①y＝eq\r(2＋log\s\do9(\f(1,2))x)＋eq\r(tanx)；②y＝eq\r(sin（cosx）)；③y＝lgsin(cosx)．

(2)已知f(x)的定义域为[0，1)，求f(cosx)的定义域．

解析：(1)①eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＋log\s\do9(\f(1,2))x≥0，,tanx≥0，,x0))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0x≤4，,kπ≤xkπ＋\f(π,2)，k∈Z，))0xeq\f(π,2)或eq\a\vs4\al(π≤x)≤4，所以函数的定义域是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪[π，4]．

②sin(cosx)≥00≤cosx≤12kπ－eq\f(π,2)≤x≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，所以函数的定义域是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)≤x≤2kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))).

③由sin(cosx)＞02kπ＜cosx＜2kπ＋π(k∈Z)，

又∵－1≤cosx≤1，∴0＜cosx≤1，∴所求定义域为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))，k∈Z.

(2)0≤cosx＜12kπ－eq\f(π,2)≤x≤2kπ＋eq\f(π,2)，且x≠2kπ(k∈Z)，

∴所求函数的定义域为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ))∪(2kπ，2kπ＋eq\f(π,2)]，k∈Z.

考点2求三角函数的单调区间

【例2】求下列函数的单调区间：

(1)y＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(2x,3)))；(2)y＝－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4))))).

解析：(1)∵y＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(2x,3)))＝－eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x,3)－\f(π,4)))，且函数y＝sinx的单调递增区间是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))，单调递减区间是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))(k∈Z)．

∴由2kπ－eq\f(π,2)≤eq\f(2x,3)－eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(π,2)3kπ－eq\f(3π,8)≤x≤3kπ＋eq\f(9π,8)(k∈Z)，

由2kπ＋eq\f(π,2)≤eq\f(2x,3)－eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(3π,2)3kπ＋eq\f(9π,8)≤x≤3kπ＋eq\f(21π,8)(eq\a\vs4\al(k∈)Z)，

即函数的单调递减区间为[3kπ－eq\f(3π,8)，3kπ＋eq\f(9π,8)](k∈Z)，单调递增区间为[3kπ＋eq\f(9π,8)，3kπ＋eq\f(21π,8)]eq\a\vs4\al(（k∈Z）.)

(2)作出函数y＝－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))))的简图(如图所示)，由图象得函数的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,4)，kπ＋\f(3π,4)))(k∈Z)，单调递减区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,4)，kπ＋\f(π,4)))(k∈Z)．

考点3求三角函数的最小正周期、最值(值域)

高中数学必修三角函数的图像与性质全文共1页，当前为第1页。【例3】(1)求下列函数的值域。

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①y=cos(x+eq\f(π,6))，x∈[0，eq\f(π,2)]；②y=－si