高等数学 上册 第3版 第7章 无穷级数.ppt

2.设,将f(x)展开成x的幂级数,的和.(01考研)解:于是并求级数机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束例2.把展开成(1)正弦级数;(2)余弦级数.解:(1)将f(x)作奇周期延拓,则有在x=2k处级数收敛于何值?机动目录上页下页返回结束(2)将作偶周期延拓,则有机动目录上页下页返回结束说明:此式对也成立,由此还可导出据此有机动目录上页下页返回结束当函数定义在任意有限区间上时,方法1令即在上展成傅里叶级数周期延拓将在代入展开式上的傅里叶级数其傅里叶展开方法:机动目录上页下页返回结束方法2令在上展成正弦或余弦级数奇或偶式周期延拓将代入展开式在即上的正弦或余弦级数机动目录上页下页返回结束例3.将函数展成傅里叶级数.解:令设将F(z)延拓成周期为10的周期函数,理条件.由于F(z)是奇函数,故则它满足收敛定机动目录上页下页返回结束为正弦级数.内容小结1.周期为2l的函数的傅里叶级数展开公式(x?间断点)其中当f(x)为奇函数时,(偶)(余弦)2.在任意有限区间上函数的傅里叶展开法变换延拓机动目录上页下页返回结束思考与练习1.将函数展开为傅里叶级数时为什么最好先画出其图形?答:易看出奇偶性及间断点,2.计算傅里叶系数时哪些系数要单独算?答:用系数公式计算如分母中出现因子n－k从而便于计算系数和写出收敛域.必须单独计算.习题课目录上页下页返回结束备用题期的傅立叶级数,并由此求级数解:为偶函数,因f(x)偶延拓后在展开成以2为周的和.故得机动目录上页下页返回结束得故机动目录上页下页返回结束习题课级数的收敛、求和与展开机动目录上页下页返回结束三、幂级数和函数的求法四、函数的幂级数和付式级数展开法一、数项级数的审敛法二、求幂级数收敛域的方法第七章求和展开(在收敛域内进行)基本问题：判别敛散；求收敛域；求和函数；级数展开.为傅立叶级数.为傅氏系数)时,时为数项级数;时为幂级数;机动目录上页下页返回结束一、数项级数的审敛法1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.正项级数审敛法必要条件不满足发散满足比值审敛法根值审敛法收敛发散不定比较审敛法用它法判别积分判别法部分和极限机动目录上页下页返回结束3.任意项级数审敛法为收敛级数Leibniz判别法:若且则交错级数收敛,概念:且余项若收敛,称绝对收敛若发散,称条件收敛机动目录上页下页返回结束例1.若级数均收敛,且证明级数收敛.证:则由题设收敛收敛收敛机动目录上页下页返回结束1.设正项级数和也收敛.提示:因?存在N0,又因利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确.都收敛,证明级数当nN时机动目录上页下页返回结束2.设级数收敛,且是否也收敛？说明理由.但对任意项级数却不一定收敛.问级数提示:对正项级数,由比较判别法可知级数收敛,收敛,级数发散.例如,取机动目录上页下页返回结束3.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:提示:(1)P1时,绝对收敛;0p≤1时,条件收敛;p≤0时,发散.(2)因各项取绝对值后所得强级数原级数绝对收敛.故机动目录上页下页返回结束因单调递减,且但所以原级数仅条件收敛.由Leibniz判别法知级数收敛;机动目