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2024年北京大学寒假学堂数学试题

1、钝角△ABC面积为3，AB=4，AC=1

2、四面体ABCD体积为6，AB⊥BC，BC⊥CD，AB=

3、在正方形ABCD所在的平面内找一点P，使得△PAB，△PBC，△PCD，△

4、设x2+x

5、A，B，C为△ABC内角，x，y，z

x2

x2

x2

6、△ABC中，求3

7、在平面直角坐标系xOy中，方程mx2+

8、△ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，分别在AC，BC上各取一点D，E，使DE平分

9、a，b，c为正实数，满足a+b+c

10、等差数列{an}n?1中，a10，公差d

11、首项是整数的等差数列，公差d=4．前n项和Sn=2024

12、复平面z4+z

13、a，b，c，d∈R，a+b+

14、整数列Un，n?0，U0=1，对?n?1有Un+1U

15、使10nx=2024恰有2个整数解的正整数n的值为

16、设1+2+7n=an+bn2+cn

17、用6种不同颜色染正方体的6个面，不同面颜色不同，正方体旋转后颜色相同认为是同种染色，则染色的种数有多少?

18、x∈R，f(x)=2x+4

19、从1，2，?，2024中任取两数a，b（可以相同），则3a+7

1、【答案】2或-

;

【解析】S△ABC=

若A=π3

此时AB→

若A=2π

所以AB→?AC

【标注】

2、【答案】-12或

;

【解析】建立空间直角坐标系，不妨设C(0,0,0)，D(23

设A(

则AB

解得x=±3

此时AD→=(x

因此AD→=(

则cos?AD→

【标注】

3、【答案】9

;

【解析】首先两条对角线的交点为所求，另外分别以四个顶点为圆心以边长为半径作四个圆，

则它们在正方形里面和外面的交点一共有8个合计是9个．

【标注】

4、【答案】2

;

【解析】取三次单位根ω≠1，易证ω2+ω

在原式中，令x=ω，则有

对上式取实部可得2100

因此所求多项式的值为2101

【标注】

5、【答案】三个

;

【解析】选定x为主元．对①式配方可得

x2

=

=x

从而①恒成立对于②类似地有

x

=x

即②恒成立对于③我们有

x

=x

因此当x=

y

=

=

=y

即③恒成立，因此三个式子均恒成立．

【标注】

6、【答案】35

;

【解析】由题意可知3

=3sin

设f(C)=25+24

因此只需考虑在0,π2上的最大值即可求导可得

令f(C)=0

于是maxf(

【标注】

7、【答案】(5,+

;

【解析】令t=y+1

因此m=|x

【标注】

8、【答案】2

;

【解析】由题意可知sin?C=

设CD=x，CE=y，则

从而由余弦定理可得DE=

【标注】

9、【答案】5

;

【解析】设b=m2，c=n4，则a+m

因此我们需要2p=4427

因此a+

【标注】

10、【答案】59

;

【解析】由于a31a30-10

即S60=30(a1+

【标注】

11、【答案】4320

;

【解析】设首项为m，则an

2024=Sn=

根据题意可知n可以取遍2024=23?

【标注】

12、【答案】0

;

【解析】解析1复数三角形式

设z=cos?α+i

因此1=cos

根据复数的性质可得1=cos

因此sin?52α=0，即α=25

因此在复平面上他们没有交点．

解析2复数指数形式

设z=eiθ，则e4iθ+

-sin

所以cos?θ=1

故不存在交点，交点个数为0．

【标注】

13、【答案】10

;

【解析】（1）数形结合

在平面直角坐标系中设O(0,0)，A(1,a)，B(3,

则原式=OA+AB+BC+CD?OD=102，等号成立当且仅当O，A，B，C

（2）待定系数

设a1=a，a2=

则原式为k=14k2+ak

即k2

k=14pb

故101-p

故k=1

当且仅当ak

注：因为y=k

【标注】

14、【答案】2;

【解析】设U1=m，则U2=km，U3=k2

因此整个数列是以6为周期的循环数列，

因此U2024

设t=km

因此m只可能是1或2，对应的k也只有2个，即2024与1012．

【标注】

15、【答案】7;

【解析】改写可得2024?

因此10

因此n?7，经检验，当n=7时10720254938

【标注】(数论模块)

16、【答案】14;

【解析】由二项式定理可得1+2

因此an对应k2，k3均为偶数的情形，bn2对应k2为奇数k3偶数的情形，cn7对应k2为偶数

记A=1+