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2024年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）

数学

养成良好的答题习惯，是决定成败的决定性因素之一。做题前，要认真阅读题目要求、题干和选项，并对答案内容作出合理预测;答题时，切忌跟着感觉走，最好按照题目序号来做，不会的或存在疑问的，要做好标记，要善于发现，找到题目的题眼所在，规范答题，书写工整;答题完毕时，要认真检查，查漏补缺，纠正错误。

本试卷共12页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1.已知集合，，则（）

A. B.

C. D.

2.已知，则（）．

A. B. C. D.1

3.求圆的圆心到的距离（）

A. B.2 C. D.

4.的二项展开式中的系数为（）

A.15 B.6 C. D.

5.已知向量，，则“”是“或”的（）条件．

A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件

C.充分且必要条件 D.既不充分也不必要条件

6已知，，，，则（）

A.1 B.2 C.3 D.4

7.记水质量为，并且d越大，水质量越好．若S不变，且，，则与的关系为（）

A.

B.

C.若，则；若，则；

D.若，则；若，则；

8.已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为4，4，，，则该四棱锥的高为（）

A. B. C. D.

9.已知，是函数图象上不同的两点，则下列正确的是（）

A. B.

C. D.

10.若集合表示的图形中，两点间最大距离为d、面积为S，则（）

A.， B.，

C.， D.，

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.已知抛物线，则焦点坐标为________．

12.已知，且α与β的终边关于原点对称，则的最大值为________．

13.已知双曲线，则过且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为________．

14.已知三个圆柱体积为公比为10的等比数列．第一个圆柱的直径为65mm，第二、三个圆柱的直径为325mm，第三个圆柱的高为230mm，求前两个圆柱的高度分别为________．

15.已知，，不为常数列且各项均不相同，下列正确的是______.

①，均为等差数列，则M中最多一个元素；

②，均为等比数列，则M中最多三个元素；

③为等差数列，为等比数列，则M中最多三个元素；

④单调递增，单调递减，则M中最多一个元素

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.在△ABC中，，A为钝角，．

（1）求；

（2）从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，求△ABC的面积．

①；②；③．

注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分．

17.已知四棱锥P-ABCD，，，，，E是上一点，．

（1）若FPE中点，证明：平面．

（2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值．

18.已知某险种的保费为万元，前3次出险每次赔付万元，第4次赔付万元

赔偿次数

0

1

2

3

4

单数

在总体中抽样100单，以频率估计概率：

（1）求随机抽取一单，赔偿不少于2次的概率；

（2）（i）毛利润是保费与赔偿金额之差．设毛利润为，估计的数学期望；

（ⅱ）若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降，已赔偿过的增加．估计保单下一保险期毛利润的数学期望．

19.已知椭圆方程C：，焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，过的直线l与椭圆交于A，B，，连接AC交椭圆于D．

（1）求椭圆方程和离心率；

（2）若直线BD的斜率为0，求t．

20.已知在处切线为l．

（1）若切线l的斜率，求单调区间；

（2）证明：切线l不经过；

（3）已知，，，，其中，切线l与y轴交于点B时．当，符合条件的A的个数为？

（参考数据：，，）

21.设集合．对于给定有穷数列A和序列Ω：，，···，，，定义变换T：将数列A的第，，，列加1，得到数列；将数列的第，，，列加1，得到数列…；重复上述操作，得到数列，记为Ω（A）．若为偶数，证明：“Ω（A）为常数列”的充要条件为“”．

绝密★本科目考试启用前

2024年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）

数学

本试卷共12页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10