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小升初数学拓展（数论）训练
约数与倍数的应用
例1、两个正整数的最小公倍数是420，这两个数分别除以它们的最大公约数，得到两个商的和是9，
这两个整数是多少？
例2、已知两个自然数的和为54，它们的最小公倍数与最大公约数的差为114，求这两个自然数是多
少？
例3、两个自然数，它们的和等于297，它们的最大公约数与最小公倍数之和等于693，这两个自然
数的差是多少？
例4、已知自然数A、B满足以下两个性质：（1）A、B不互质；（2）A、B最大公约数与最小公倍数
之和为35,，那么A+B的最小值是多少？
例5、已知a与b，a与c的最大公约数分别是12和15，a、b、c的最小公倍数是120，求a，b，c
为多少？
例6、两个整数A、B的最大公约数是C，最小公倍数是D，并且已知C不等于1，也不等于A或B，
C+D=187，那么A+B等于多少？
例7、求不大于200且只有10个不同约数的所有自然数。
例8、房间里有灯200盏，依次编号为1、2、3199、200.开始时都是灭的，第一次将所有编号能被
1整除的灯拉一下，第二次将所有编号能被2整除的灯拉一下，第n次将所有编号能被n整除的灯拉
一下，直到第200次。最后有多少盏灯是亮的？
例9、已知一个数有15个不同的约数，这个数最小是几？
例10、A、B、C均为正整数。已知A有7个约数，B有6个约数，C有3个约数，A×B有24个约
数，B×C有10个约数。则A+B+C的最小值为多少？
例11、自然数n是1、2、310的公倍数，而且它恰有72个约数。n的最小值是多少？
例12、设2005的所有不同正约数的积为A，A的所有不同正约数的积为M，则M为多少？
例13、360到630的自然数中有奇数个约数的数。
例14、用2、3、4、5、6、7这六个数字组成两个三位数A和B，那么A、B、540这三个数的最大公
约数最大可能是多少？
例15、三个连续的正整数，中间一个是完全平方数，那么这样的三个连续正整数的积称为“美妙数”。
请问：所有小于2008的美妙数的最大公约数是多少？
例16、一个数的完全平方有93个约数，求该数的约数个数是多少？
例17、300名同学编号为1号至300号，面向东站成一排。第一次全体学生向右转（转后所有同学面
朝南）；第二次编号为2的倍数的同学向右转；第三次编号为3的同学向右转第三百次编号为300
的倍数的同学向右转，这时，面向北的同学有多少名？
例18、两个不同的数相乘的积有2017个约数，这两个数的和最小是多少？
例19、一个数的最大的约数和第二大的约数的和是156，这样的数有哪几个？
例20、三个正整数，已知（A，B）=3，【A，C】=1800，【B，C】=600。满足以上条件的三个数共有
多少种可能？
答案
例1：84、105或60、210
例2：24和30
例3：33
例4：25
例5：a、b、c为60、24、15或120、12、15
例6：119
例7：48、80、112、162、176
例8：14盏
例9：144
例10：91
例11：10080
例12：M=20059
例13：360到630的自然数中有奇数个约数的数为336、400、441、484、529、576、625.
例14：108
例15：60
例16：47个或32个
例17：9个
例18：21007+21009=5×21007
例19：104、117、143三个
例20：70种
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