2023八年级下期中复习——《B卷函数综合》【解析版】.pdfVIP

1．（2021-2022成都十八中八下期中·28）（12分）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线y＝kx+8

（k≠0）经过点C（2，4），与x轴交于点A，与y轴交于点B．线段CD平行于x轴，交直线y＝x

于点D．连接OC、AD．

（1）求证：四边形OCDA是平行四边形；

（2）点P为直线AC上一点，连接OP、PD，当S△POD＝2S△COD，求此时点P的坐标；

（3）OD与AC交于点E，点F为x轴上一点，在y轴上是否存在一点G，使得以D、E、F、G为顶点

的四边形是平行四边形？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据点C的坐标求出直线AB的解析式，再求出OA的长度，利用CD∥x轴及点D在直

线OD上，得出点D的坐标，再计算出CD的长度，从而得出OA＝CD，且OA∥CD，即可证出．

（2）由△POD与△COD同底，S△POD＝2S△COD，可知点P到OD的距离是点C到OD距离的2倍，

利用平移的知识即可解决．

（3）画出图形，再根据平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分等性质进行分类讨论，利用中

点公式，构造全等三角形即可求出符合条件的G点．

【解答】（1）证明：

如图1，将C（2，4）代入y＝kx+8，得k＝﹣2，

∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+8．

当y＝0时代入y＝﹣2x+8，得x＝4，即点A（4，0），

∴OA＝4．

∵CD平行于x轴，则点D的纵坐标为4，

∴将y＝4代入y＝，得x＝6．

∴点D（6，4），C（2，4）．

∴CD＝4．

∴OA＝CD，且OA∥CD．

∴四边形OCDA是平行四边形．

（2）∵△POD与△COD的底都是OD，

∴当S△POD＝2S△COD时，则点P到OD的距离是点C到OD距离的2倍，

如图2，设将直线OD向上平移b（b＞0）个单位得到直线l，使得直线l经过点C，

∴直线l的解析式为y＝+b，经过点C（2，4），则可得b＝．

∵点P到OD的距离是点C到OD距离的2倍，

①将直线OD向上平移2b（b＞0）个单位得到直线a，

∴直线a的解析式为y＝+．

∴直线a与直线AC的交点即为点P，

∴，解得，

∴点P的坐标为（1，6）；

②将直线OD向下平移2b（b＞0）个单位得到直线b，

∴直线b的解析式为y＝﹣．

∴直线b与直线AC的交点即为点P，

∴，解得，

∴点P的坐标为（5，﹣2）．

故答案为：（1，6）或（5，﹣2）．

（3）在y轴上存在一点G，使得以D、E、F、G为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：

设G（0，y），F（x，0）．

∵直线OD与直线AB交于点E，

∴，解得，即E（3，2），D（6，4）．

①如图3，过点E作EN⊥y轴，垂足为N，作DM⊥x轴，垂足为M，ED的中点为H．

∵四边形GEFD是以ED为对角线的平行四边形，点H坐标为（，）即H（，3）．

∴点H也是GF的中点，则，解得．

∴点G的坐标为（0，6）．

②如图4，当四边形GFED是以ED为边的平行四边形．

∴过点G作GM∥x轴，过点D作DM⊥GM，过点E作EN⊥x轴．

∵GD∥EF，GD＝EF．

∴EN∥DM．

∴∠GDE＝∠FEO，∠MDE＝∠NEO．

∴∠GDM＝∠FEN，∠DMG＝∠ENF，GD＝FE．

∴△GDM≌△FEN