简单复合函数的导数课件高二上学期数学苏教版选择性必修第一册.pptx

5.2导数的运算5.2.3简单复合函数的导数一、知识回顾：思考我们已经学习了导数的计算，大家都知道函数y=sinx的导数是y=cosx，那么函数y=sin2x的导函数是不是y=cos2x呢？答案是否定的，怎样求诸如y=sin2x的简单复合函数的导数呢？让我们进入本节课的学习！一、知识回顾：问题1一、知识回顾：问题2一、知识回顾：复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)).注意点：内、外层函数通常为基本初等函数.复合函数求导法则二、新知探求：提示：一方面，另一方面，将y=(3x-1)2看成由y=u2及u=3x-1复合而成，并将y关于u的导数记为二、新知探求：即二、新知探求：问题4如何求函数y＝sin2x的导数？提示y＝2sinxcosx，由两个函数相乘的求导法则可知：y′＝2cos2x－2sin2x＝2cos2x；从整体上来看，外层函数是基本初等函数y＝sinu，它的导数y′＝cosu，内层函数是幂函数的线性组合u＝2x，它的导数是u′＝2，发现y′x＝y′u·u′x.二、新知探求：复合函数的求导法则符号表示语言叙述y=f(u)，u=g(x)，y′x=__________特别地，y=f(u)，u=ax+b，则yx′=yu′·ux′=yu′·ay对x的导数等于____________________________.y′u·u′xy对u的导数与u对x的导数的乘积注意点：(1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构；(2)求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层不变的原则；(3)求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导.二、新知探求：注意：复合函数中，令，则对x求导二、新知探求：拓展：复合函数导数运算法则证明设函数u=φ(x)在点x处有导数u′x=φ′(x),函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数y′u=f′(u),则复合函数y=f(φ(x))在点x处也有导数,且y′x=f′(u)·u′(x).二、新知探求：证明:设x有增量Δx,则对应的u,y分别有增量Δu,Δy.因为u=φ(x)在点x处可导,所以u=φ(x)在点x处连续,因此当Δx→0时,Δu→0.二、新知探求：判断正误：(1)函数y=2x+1是复合函数.()(2)函数y=sin(2x+)是由函数f(u)=sinu和u(x)=2x+，按照y=f(u(x))复合而成的.()(3)若y=f(ax+b)，则y′=f′(ax+b).()提示：(1)不是.函数y=2x+1是一次函数,不是复合函数.(2)研究复合函数，首先弄清它是由哪些基本初等函数复合而成的，怎样复合的,所以(2)正确.(3)根据复合函数的构成以及求导法则可知(3)错误.答案：(1)×(2)√(3)×三、典型例题：解：三、典型例题：解：三、典型例题：求复合函数的导数的步骤求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁.三、典型例题：解：三、典型例题：解：三、典型例题：解：三、典型例题：解：四、达标检测：A四、达标检测：B四、达标检测：解：四、达标检测：解：四、达标检测：解：四、达标检测：解：五、课堂小结：1.知识清单：(1)复合函数的概念.(2)复合函数的求导法则.(3)复合函数的导数的应用.2.方法归纳：转化法.3.常见误区：求复合函数的导数时不能正确分解函数；求导时不能分清是对哪个变量求导；计算结果复杂化.1.函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是()A.y＝un，u＝x2－1B.y＝(u－1)n，u＝x2C.y＝tn，t＝(x2－1)nD.y＝(t－1)n，t＝x2－12.函数y＝x2cos2x的导数为()A.y′＝2xcos2x－x2sin2xB.y′＝2xcos2x－2x2sin2xC.y′＝x2cos2x－2xsin2xD.y′＝2xcos2x＋2x2sin2x3.若f(x)＝sin，则f′＝________.4.已知f(x)＝ln(3x－1)，则f′(1)＝________.5.设曲线y＝eax(a是常数)在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则实数a＝_____.6.已知函数f(x)＝ax2＋2ln(2－x)(a∈R)，设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为l，若l与圆C：x2＋y2＝相切，求a的值．