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三次函数和高次函数的解答和推导

一、三次函数

定义：三次函数是形如y=ax^3+bx^2+cx+d（a、b、c、d为常数，a≠0）的函数。

图像特点：三次函数的图像为一条曲线，可以呈现出抛物线状、S形等多种形状。

导数：三次函数的导数为y’=3ax^2+2bx+c。导数可以帮助我们研究函数的单调性、极值等性质。

极值：三次函数的极值可能有一个或两个。通过导数等于零求解x值，再代入原函数求得对应的y值。

实根分布：根据判别式b^2-3ac的正负，可以判断三次函数的实根分布情况。

二、高次函数

定义：高次函数是指次数大于二次的函数，形式为y=ax^n+bx^(n-1)+…+k（a、b、…、k为常数，a≠0，n为正整数）。

图像特点：高次函数的图像可以是曲线、折线等，形态多样。随着次数的增加，图像可能越来越复杂。

导数：高次函数的导数为y’=nanx^(n-1)+(n-1)bnx^(n-2)+…+k。导数可以帮助我们研究函数的单调性、极值等性质。

极值：高次函数的极值可能有一个或多个。通过导数等于零求解x值，再代入原函数求得对应的y值。

实根分布：根据判别式b^2-4ac的正负，可以判断高次函数的实根分布情况。对于n≥3的情况，还需要考虑重根、复根等特殊情况。

多元高次方程组：高次函数可能涉及多个变量，形成多元高次方程组。解此类方程组一般采用代数方法，如消元法、矩阵法等。

函数变换：通过对高次函数进行平移、缩放、换元等变换，可以简化函数的解析式和图像。

知识点：__________

习题及方法：

习题：已知三次函数y=ax^3+bx^2+cx+d，其中a、b、c、d是常数，且a≠0。若该函数的图像经过点(1,2)和(2,-3)，求该函数的表达式。

解题方法：将点(1,2)和(2,-3)代入函数表达式，得到两个方程：

a+b+c+d=2

8a+4b+2c+d=-3

解这个方程组，得到a、b、c、d的值，即可得到函数的表达式。

习题：已知三次函数y=ax^3+bx^2+cx+d的图像在x=1处取得极大值，且经过点(0,0)，求该函数的表达式。

解题方法：求导数y’=3ax^2+2bx+c，令y’=0，得到极值点的x值。由于图像在x=1处取得极大值，所以极值点的x值为1。将x=1代入原函数，得到极值y值。再将点(0,0)代入原函数，得到另一个方程。解这个方程组，得到a、b、c、d的值，即可得到函数的表达式。

习题：已知四次函数y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e，其中a、b、c、d、e是常数，且a≠0。若该函数的图像经过点(1,2)和(2,-3)，求该函数的表达式。

解题方法：将点(1,2)和(2,-3)代入函数表达式，得到两个方程：

a+b+c+d+e=2

16a+8b+4c+2d+e=-3

解这个方程组，得到a、b、c、d、e的值，即可得到函数的表达式。

习题：已知四次函数y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e的图像在x=1处取得极小值，且经过点(0,0)，求该函数的表达式。

解题方法：求导数y’=4ax^3+3bx^2+2cx+d，令y’=0，得到极值点的x值。由于图像在x=1处取得极小值，所以极值点的x值为1。将x=1代入原函数，得到极值y值。再将点(0,0)代入原函数，得到另一个方程。解这个方程组，得到a、b、c、d、e的值，即可得到函数的表达式。

习题：已知三次函数y=ax^3+bx^2+cx+d的图像开口向上，求证该函数存在极小值。

解题方法：求导数y’=3ax^2+2bx+c，令y’=0，得到极值点的x值。由于图像开口向上，所以a0。根据判别式b^2-3ac的正负，可以判断极值点的性质。当判别式大于零时，存在两个不同的x值，对应的两个极值点分别为极小值和极大值。

习题：已知四次函数y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e的图像开口向下，求证该函数存在极大值。

解题方法：求导数y’=4ax^3+3bx^2+2cx+d，令y’=0，得到极值点的x值。由于图像开口向下，所以a0。根据判别式b^2-4a