2024年高考全国甲卷数学(理)试题及答案.docx

2024年高考全国甲卷数学(理)试题及答案

使用范围：陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.设，则（）

A.??B.??C.10D.?

【答案】A

2.集合，则（）

A.??B.??C.??D.?

【答案】D

3.若实数满足约束条件，则的最小值为（）

A.5B.??C.??D.?

【答案】D

4.等差数列的前项和为，若，，则（）

A.??B.??C.1D.2

【答案】B

5.已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）

A.4B.3C.2D.?

【答案】C

6.设函数，则曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）

A.??B.??C.??D.?

【答案】A

7.函数在区间的大致图像为（）

A.??B.?

C.??D.?

【答案】B

8.已知，则（）

A.??B.??C.??D.?

【答案】B

9.已知向量，则（）

A.“”是“”的必要条件B.“”是“”的必要条件

C.“”是“”的充分条件D.“”是“”的充分条件

【答案】C

10.设是两个平面，是两条直线，且.下列四个命题：

①若，则或?②若，则

③若，且，则?④若与和所成的角相等，则

其中所有真命题的编号是（）

A.①③B.②④C.①②③D.①③④

【答案】A

11.在中内角所对边分别为，若，，则（）

A.??B.??C.??D.?

【答案】C

12.已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（）

A.2B.3C.4D.?

【答案】C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.?的展开式中，各项系数的最大值是______．

【答案】5

14.已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为和，母线长分别为和，则两个圆台的体积之比______．

【答案】

15.已知，，则______．

【答案】64

16.有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与差的绝对值不超过的概率是______．

【答案】

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17.某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：

优级品

合格品

不合格品

总计

甲车间

26

24

0

50

乙车间

70

28

2

100

总计

96

52

2

150

（1）填写如下列联表：

优级品

非优级品

甲车间

乙车间

能否有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？

（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率，设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（）

附：

0.050

0.010

0.001

k

3.841

6.635

10.828

【答案】

（1）答案见详解

（2）答案见详解

【解析】

【分析】

（1）根据题中数据完善列联表，计算，并与临界值对比分析；

（2）用频率估计概率可得，根据题意计算，结合题意分析判断.

【小问1详解】

根据题意可得列联表：

优级品

非优级品

甲车间

26

24

乙车间

70

30

可得，

因为，

所以有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异.

【小问2详解】

由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为，

用频率估计概率可得，

又因为升级改造前该工厂产品的优级品率，

则，

可知，

所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.

18.记为数列的前项和，且．

（1）求的通项公式；

（2）设，求数列的前项和为．

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）利用退位法可求的通项公式．

（2）利用错位相减法可求.

【小问1详解】

当时，，解得．

当时，，所以即，

而，故，故，

∴数列是以4为首项，为公比的等比数列，

所以.

【小问2详解】

,

所以