专题02 勾股定理（知识串讲＋热考题型＋专题训练）（原卷版）-期末考点串讲练.docxVIP

专题02勾股定理

一．勾股定理（共4小题）二．勾股定理的证明（共4小题）

三．勾股定理的逆定理（共7小题）四．勾股数（共3小题）

五．勾股定理的应用（共7小题）

知识点一、直角三角形直角边与斜边之间的大小关系

定理：在直角三角形中，斜边大于直角边.

知识点二、勾股定理

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么.

要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.

（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.

（3）理解勾股定理的一些变式：

，，.

知识点三、勾股定理的证明

方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.

图（1）中，所以.

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.

图（2）中，所以.

方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.

，所以.

知识点四、勾股定理的作用

已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；

用于解决带有平方关系的证明问题；

3.利用勾股定理，作出长为的线段.

知识点五、勾股定理的逆定理

如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.

要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.

（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.

知识点六、如何判定一个三角形是否是直角三角形

首先确定最大边（如）.

验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C=90°的直角三角形；若

，则△ABC不是直角三角形.

要点诠释：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.

知识点七、勾股数

满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.

熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：

3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……

如果()是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.

要点诠释：（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长；

（2）（是自然数）是直角三角形的三条边长；

（3）（是自然数）是直角三角形的三条边长；

一．勾股定理（共4小题）

1．（2022春?乾安县期中）直角三角形的两边长分别为6和10，那么它的第三边的长度为（）

A．8 B．10 C．8或2 D．10或2

2．（2021春?沂水县期中）已知O为数轴原点，如图，（1）在数轴上截取线段OA＝2；（2）过点A作直线l垂直于OA；（3）在直线l上截取线段AB＝3；（4）以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴分别于点C，D．根据以上作图过程及所作图形，有如下四个结论：①OC＝5；②OB＝；③点C对应的数是﹣2；④5＜AD＜6．上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A．①② B．①③ C．②③ D．②④

3．（2021秋?茂名期中）如图，OP＝1，过点P作PP1⊥OP且PP1＝1，得OP1＝；再过点P，作P1P2⊥OP1，且P1P2＝1，得OP2＝；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2…依此法继续作下去，得OP2021＝（）

A． B． C． D．

4．（2022春?静海区校级期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AB＝17，BD＝15，DC＝6，则AC的长为（）

A．11 B．10 C．9 D．8

二．勾股定理的证明（共4小题）

5．（2022春?延津县期中）如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，BE＝13，则EF2的值是（）

A．128 B．64 C．32 D．144

6．（2022春?长葛市期中）若a，b为直角三角形的两直角边，c为斜边，下列选项中不能用来证明勾股定理的是（）

A． B．

C． D．

7．（2022春?雄县期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（）

A．9 B．6 C．4 D．3

8．（2021春?洛阳期中）如图，在△ABD中，AC⊥BD于C，点E为AC上一点，连接BE、DE，DE的延长线交AB于F，已知DE＝AB，∠CAD＝45°．

（1）