数学实验 课件 第7章 微积分实验.pptx

7.1微分微分学主要包括极限、导数与微分.极限是微积分的基础概念，极限思想方法是数学分析乃至全部高等数学必不可少的一种重要方法.数学分析之所以能解决许多初等数学无法解决的问题（例如求瞬时速度、曲线弧长、曲边形面积、曲面体的体积等问题），正是由于其采用了极限的无限逼近的思想方法，才能够得到无比精确的计算结果.定义：如果当x无限接近x0时，函数f(x)无限接近常数A.则称函数f(x)在x0处的极限为A，记为．MATLAB中主要用limit求函数的极限与导数；diff求函数的导数和微分.①limit(f,var,a)返回符号表达式当var趋于a时表达式f的极限；②limit(f,var,a,left)?返回符号表达式当var趋于a-0时表达式f的左极限；③limit(f,var,a,right)?返回符号表达式当var趋于a+0时表达式f的右极限；④diff(f,var,n)返回符号表达式f对自变量var的n阶导数.例7.1求下列极限解（1）symsnf=(3*n^3-1)/(4*n^3+n+1);limit(f,n,inf)ans=3/4可知.（2）symsnf=(1+n)^(1/n);limit(f,n,0)ans=exp(1)可知??（3）clear;symsx;limit(sin(x)/x,x,0)ans=1可知.（4）symsxlimit(atan(1/x),x,0,right)ans=pi/2可知.??（5）symsxlimit(atan(1/x),x,0,left)ans=-pi/2可知.?例7.2求极限.解clear;symsx;?%说明x为符号变量limit(cos(1/x),x,0)ans=NaN极限值NaN是个不定值，可知不存在.??下面作出函数在[-1,-0.01]区间上的图形，观察图形在x=0附近的形状.在[-1,-0.01]区间上绘图的MATLAB命令为：x=-1:0.0001:-0.01;??y=cos(1./x);?plot(x,y)所得图形如图7-1所示.观察出x趋于0时，函数值在-1、1这两个数之间交替震荡取值，而极限如果存在则必唯一，判断出极限不存在.图7-1函数图形例7.3求函数的导数.解symsxy=log(sin(x)-x);%在MATLAB中用log(x)表示lnx.diff(y)ans=-(cos(x)-1)/(x-sin(x))可知.例7.4已知函数，求函数关于x变量的一阶微分dy和二阶导数y.解symsabcxy=a*x^2+b*x+c;?%定义函数表达式diff(y)?????????????????%对默认变量求x一阶导数ans=2*a*x+bdiff(y,x,2)??????????????%对符号变量求x二阶导数ans=2*a可知,.例7.5求参数方程确定的函数的导数.解symstx=cos(t)^3;y=sin(t)^3;dy=diff(y);dx=diff(x);dy/dxans=-sin(t)/cos(t)可知导数.例7.6?先求函数的导数，然后在同一坐标系里作出函数及其导函数的图形.解函数求导相应的MATLAB代码为：clear;symsx;diff(x^3-6*x+3,x,1)结果为ans=3*x^2-6.函数绘图相应的MATLAB代码为：x=-4:0.1:4;??y1=x.^3-6*x+3;?y2=3*x.^2-6;plot(x,y1,x,y2,:)结果如图7-2所示，其中实线是的图形，点线是的图形.图7-2?函数及其导数例7.7求函数在点（1,2）处的偏导数.解symsxyz=x^2+3*x*y+y^2;zx=diff(z,x)%求z对x的偏导数zx=2*x+3*ysubs(zx,[xy],[12])%计算偏导数在（1，2）点处的值ans=8zy=diff(z,y)%求z对y的偏导数zy=3*x+2*ysubs(zy,[xy],[12])%计算偏导数在（1，2）点处的值ans=7可知.7.2数值微分若所给函数f(x)由表格形式给出，那么要直接求解就不那么容易了.要求解这样的问题，需要引入数值算法求解所需问题的数