【新精创】223 直线的一般式方程（教学设计）-人教A版高中数学选择性必修第一册.docx

2.2.3直线的一般式方程

本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习直线的一般式方程

直线的一般式方程是直线的点斜式，斜截式，两点式，截距式方程的综合表示形式，与前面学习的其他形式的直线方程的一个不同点是：直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线，而点斜式、斜截式、两点式方程，都不能表示与x轴垂直的直线.通过研究直线方程的几种形式，指出它们都是关于x，y的二元一次方程，然后从两个方面进一步研究直线和二元一次方程的关系，使学生明确一个重要事实：在平面直角坐标系中，任何一条直线的方，可以写成关于x，y的一元二次方程；反过来，任何一个关于x，y的一次方程都表示一条直线，为以后继续学习“曲线和方程”打下基础.

本节内容是本章的基础内容，也是本章的重点内容，对前面学习两直线位置关系的判定提供了必要的基础支持，也是后面要学习的两直线的交点、点到直线的距离、两平行线间的距离等知识的必需形式.大纲把教学目标定位在“掌握直线的一般方程”，属于较高层次的要求.本节课注重综合分析归纳，是高中数学教学的重要方面.

课程目标

学科素养

A.了解直线的一般式方程的形式特征，理解直线的一般式方程与二元一次方程的关系；

2.能正确地进行直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化；

3.能运用直线的一般式方程解决有关问题.

1.数学抽象：一般式方程与二元一次方程的关系

2.逻辑推理：直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化

3.数学运算：运用直线的一般式方程解决有关问题

4.直观想象：直线与方程的关系

1.教学重点：了解二元一次方程与直线的对应关系，掌握直线的一般形式

2.教学难点：能根据所给条件求直线方程，并能在几种形式间相互转化

多媒体

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、问题导学

问题：由下列各条件,写出直线的方程,并画出图形.

(1)斜率是1,经过点A(1,8);

(2)在x轴和y轴上的截距分别是-7,7;

(3)经过两点P1(-1,6),P2(2,9);

(4)在y轴上的截距是7,倾斜角是45°.

(1)y-8=x-1;(2)x-7+y7=1;(3)y

直线的图象,你会惊奇地发现:这4条直线是重合的.事实上,它们的方程都可以化简为x-y+7=0.这样前几种直线方程就有了统一的形式,这就是本节我们要学习的直线的一般式方程.

同学们,根据前面我们学习的直线方程形式,分别利用点斜式、截距式、两点式和斜截式,可得到四种情况下的直线方程分别为

二、探究新知

1.直线的一般式方程

(1)．在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的_____________；任何关于x，y的二元一次方程都表示________．方程_____________________________________叫做直线方程的一般式．

二元一次方程;一条直线;Ax＋By＋C＝0(其中A、B不同时为0)

(2)．直线一般式方程的结构特征

①方程是关于x，y的二元一次方程．

②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y常数的先后顺序排列．

③x的系数一般不为分数和负数．

④虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程．

2.直线的一般式方程与其他形式的互化

1.在方程Ax+By+C=0(A,B不同时为零)中,A,B,C为何值时,方程表示的直线

(1)平行于x轴;(2)平行于y轴;(3)与x轴重合;(4)与y轴重合.

答案:当A=0时,方程变为y=-CB,当C≠0时表示的直线平行于x轴,当C=0时与x轴重合;当B=0时,方程变为x=-CA,当C≠0时表示的直线平行于y轴,当C=0时与y

2.直线方程2x+3y+1=0化为斜截式为;

化为截距式为?.?

解析:方程化为3y=-2x-1,则y=-23x-1

方程化为2x+3y=-1,得-2x-3y=1,即x-12

答案:y=-23x-13;x

3.两条直线的位置关系

3.判断下列两组直线是否平行或垂直:

(1)x+2y-7=0;2x+4y-7=0.

(2)4x-y+3=0,3x+12y-11=0.

解:(1)∵1×4-2×2=0且2×(-7)-4×(-7)≠0,∴两直线平行.

(2)∵4×3+(-1)×12=0,∴两直线垂直.

三、典例解析

例1根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程.

(1)斜率是3,且经过点A(5,3);

(2)斜率为4,在y轴上的截距为-2;

(3)经过A(-1,5),B(2,-1)两点;

(4)在x轴、y轴上的截距分别是-3,-1.