河南省安阳市第一中学2023-2024学年高一下学期第二次阶段考试数学试题.docxVIP

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河南省安阳市第一中学2023-2024学年高一下学期第二次阶段考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．随着老龄化时代的到来，某社区为了探讨社区养老模式，在社区内对2400名老年人、2400名中年人、2100名青年人用分层抽样方法随机发放了调查问卷345份，则在老年人中发放的调查问卷份数是（???）

A．110 B．115 C．120 D．125

2．已知复数表示纯虚数，则（????）

A．1 B． C．1或 D．2

3．已知正方形的边长为，则的值为（????）

A． B． C． D．

4．已知在正四面体中，M为AB的中点，则直线CM与AD所成角的余弦值为（???）

A． B． C． D．

5．已知向量，，则下列结论：

①.若，则

②.若，则

③.若与的夹角为，则

其中正确结论的有（????）

A．1个 B．2个 C．3个 D．0个

6．如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（????）

??

A．9 B．4 C．3 D．

7．已知正方体的棱长为2，P为的中点，过A，B，P三点作平面，则该正方体的外接球被平面截得的截面圆的面积为（?????）

A． B． C． D．

8．在一堂数学实践探究课中，同学们用镜而反射法测量学校钟楼的高度.如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜中能看到钟楼顶部的位置，此时测量人和小镜子的距离为，之后将小镜子前移，重复之前的操作，再次测量人与小镜子的距离为，已知人的眼睛距离地面的高度为，则钟楼的高度大约是（????）

??

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的有（????）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若为异面直线，，则

10．已知的内角所对的边分别为下列说法错误的是（?????）

A．若，则是等腰三角形

B．若，则是直角三角形

C．若，则是直角三角形

D．“”是“是等边三角形”的充分不必要条件

11．已知正四面体的棱长为，则（????）

A．正四面体的外接球表面积为

B．正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值

C．正四面体的相邻两个面所成二面角的正弦值为

D．正四面体在正四面体的内部，且可以任意转动，则正四面体的体积最大值为

三、填空题

12．已知复数满足，（为虚数单位），则．

13．在边长为1的正方体中，点M是该正方体表面上一个动点，且平面，则动点M的轨迹的长度是.

14．在直角中，，，，平面内动点满足，则的最小值为．

四、解答题

15．已知是复数，和均为实数，，其中是虚数单位.

(1)求复数的共轭复数;

(2)若复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围.

16．在四棱锥中，平面ABCD，底面是边长是1的正方形，侧棱PA与底面成的角，M，N分别是AB，PC的中点.

(1)求证:平面PAD;

(2)二面角平面角的正切值.

17．在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，.

(1)证明：

(2)若，当与平面所成角的正弦值最大时，求四棱锥的体积.

18．已知的内角的对边为，且.

(1)求；

(2)若的面积为；

（i）已知为的中点，求底边上中线长的最小值；

（ii）求内角的角平分线长的最大值.

19．若A，B，C是平面内不共线的三点，且同时满足以下两个条件：①；②存在异于点A的点G使得：与同向且，则称点A，B，C为可交换点组．已知点A，B，C是可交换点组．

(1)求∠BAC；

(2)若，，，求C的坐标；

(3)记a，b，c中的最小值为，若，，点P满足，求的取值范围．

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参考答案：

1．C

【分析】设在老年人中发放的调查问卷份数为x，根据分层抽样的性质列方程求解.

【详解】设在老年人中发放的调查问卷份数为x，

则，

解得．

所以在老年人中发放的调查问卷份数是.

故选：C．

2．B

【分析】根据题意结合复数的相关概念列式求解即可.

【详解】因为，

若复数表示纯虚数，则，解得.

故选：B.

3．A

【分析】方法一：建立如图平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标表示即可求解；方法二：利用平面向量的线性运算和数量积的运算律计算即可求解.

【详解】方法一：如图所示，建立以为原点的平面直角坐标系，

得，则，

故．

??

方法二：，