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高等数学教案

一、课程的性质与任务

高等数学是计算机科学与技术；信息管理与信息系统两个专业的一门重要的基础理论课，通过本课程的学习，也是该专业的核心课程。要使学生获得“向量代数”与“空间解析几何”，“微积分”，“常微分方程与无穷级数”等方面的基本概论、基本理论与基本运算；同时要通过各个教学环节逐步培训学生的抽象概括能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力。在传授知识的同时，要着眼于提高学生的数学素质，培养学生用数学的方法去解决实际问题的意识、兴趣和能力。

第一章：函数与极限

教学目的与要求

1.解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。

2.解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。

4.掌握基本初等函数的性质及其图形。

5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。

6.掌握极限的性质及四则运算法则。

7.了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。

8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。

9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。

10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。

第一节：映射与函数

一、集合

集合概念

具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称为该集合的元素

表示方法：用A，B，C，D表示集合；用a，b，c，d表示集合中的元素

1)

2)

元素与集合的关系：

一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。

常见的数集：N，Z，Q，R，N+

元素与集合的关系：A、B是两个集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作。

如果集合A与集合B互为子集，则称A与B相等，记作

若作且则称A是B的真子集。

空集：

集合的运算

并集：交集：

差集：全集I、E补集：

集合的并、交、余运算满足下列法则：

交换律、

结合律、

分配律

对偶律(

笛卡儿积A×B

区间和邻域

开区间闭区间半开半闭区间

有限、无限区间邻域：

a邻域的中心邻域的半径去心邻域

二、映射

映射概念

定义设X，Y是两个非空集合，如果存在一个法则，使得对X中的每一个元素，按法则，在Y中有唯一确定的元素与之对应，则称为从X到Y的映射，记作

其中称为元素的像，并记作，即

注意：1）集合X；集合Y；对应法则

2）每个X有唯一的像；每个Y的原像不唯一

3)单射、满射、双射

映射、复合映射

三、函数

函数的概念：

定义：设数集，则称映射为定义在D上的函数记为

自变量、因变量、定义域、值域、函数值

用、、

函数相等：定义域、对应法则相等

自然定义函数；单值函数；多值函数、单值分枝.

例：１)ｙ＝２

2)ｙ＝

3)符号函数

4)取整函数（阶梯曲线）

5)分段函数

函数的几种特性

函数的有界性(上界、下界；有界、无界)

有界的充要条件：既有上界又有下界。

注：不同函数、不同定义域，有界性变化。

2)函数的单调性（单增、单减）在x1、x2点比较函数值

与的大小（注：与区间有关）

3)函数的奇偶性(定义域对称、与关系决定)

图形特点(关于原点、Y轴对称)

4)函数的周期性(定义域中成立：)

反函数与复合函数

反函数：函数是单射，则有逆映射，称此映射为函数的反函数

函数与反函数的图像关于对称

复合函数：函数定义域为D1，函数在D上有定义、且。则为复合函数。(注意：构成条件)

函数的运算

和、差、积、商(注：只有定义域相同的函数才能运算)

初等函数：

1)幂函数：2)指数函数：

3)对数函数

4)三角函数

5)反三角函数

，

以上五种函数为基本初等函数

6)双曲函数

注：双曲函数的单调性、奇偶性。

双曲函数公式

反双曲函数：

作业：同步练习册练习一

第