2024年人教版九年级上册数学第22章二次函数第2节二次函数与一元二次方程.pptx

22.2二次函数与一元二次方程

人教版九年级上册

学习目标

1.通过类比的方法理解一元二次方程ax²+bx+c=m(a≠0)

根的情况与抛物线y=ax²+bx+c和直线y=m交点的情

况之间的关系，提高学生分析问题、解决问题的能力.重点

2.通过对“小球飞行”问题的探究，使学生理解二次函数与一元

二次方程的关系，从而提高学生分析问题、解决问题的能力

以及归纳概括的能力.

3.通过二次函数与一元二次方程之间关系的探究，使学生体会

数形结合思想，激发学生学习数学的兴趣.

如图，点O表示喷水池的水面中心，OA表示喷水柱子，水

流从点A喷出，按照图中所示的平面直角坐标系，每一股

水流在空中的路线都可以用描述，那么水

池的半径最少要多少米，才能使喷出的水流不至于流到池

外?

回答下列问题：

1.一次函数y=x+2的图象与x轴的交点坐标是什么?

2.一元一次方程x+2=0的根是多少?

3.一次函数y=kx+b的图象与一元一次方程kx+b=0的根

有什么关系?

Emirates

FLVRETTER

1Larrazábal-8③Lorenzo-Vera-8③

Paul-8②

4Jamieson-7

SHPark-7②6Halligkilde-668

观看视频，思考问题

4|Lorenzo-Vera

PAR4ateY13k³M

→范

OLFCcLun

KOREA

D)

R

KOREA

CHAHFIORSHF

386Yds|①234

8

O

1.请同学们阅读课本43页问题.

以40m/s的速度将球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行

路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h

(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系：h=

20t-5t².考虑以下问题：

球的飞行高度能否达到15m?如果能，需要多少飞行时间?

说一说为什么会有两个时间点，球的飞行高度是15m?

2.画出函数h=20t-5t²的图象，思考：

①为什么在问题(1)中有两个点符合题意

问题(2)中只有一个点符合题意?

抛物线h=20t-5t²与直线y=15有两个公共点，

与直线y=20只有一个公共点.

自主探究

②你能根据图象，回答问题(3)(4)吗?

由图象可知，抛物线h=20t-5t顶点坐标为(2,20),

所以小球的飞行高度不可能达到20.5m.由图象可知，

抛物线h=20t-5t?与x轴的公共点为(0,0),(4,0),

所以小球从飞出到落地要用4s.

自主探究

3.请同学们阅读课本44页思考.

4.抛物线与x轴的公共点个数与一元二次方程根的判别式

有什么关系?公共点的横坐标与方程的解有什么关系?

若b²-4ac0,则抛物线与x轴有两个公共点；若b²-4ac=0,则抛物线

与x轴有一个公共点；若b²-4ac0,则抛物线与x轴没有公共点.

公共点的横坐标就是一元二次方程的解.

5.请同学们阅读课本46页例题.

小组讨论

1.请同学们归纳二次函数与一元二次方程的联系.

抛物线y=ax²+bx+c与x轴的公共点的横坐标为一元二次方程

ax²+bx+c=0的根，抛物线y=ax²+bx+c与x轴的公共点个数与一元二次方程ax²+bx+c=0的根的判别式有关.

2.已知抛物线y=2(k+1)x²+4kx+2k-3.

(1)当k为何值时，抛物线与x轴有两个公共点?

(2)当k为何值时，抛物线与x轴只有一个公共点?

(3)当k为何值时，抛物线与x轴没有公共点?

k-3且k≠-1;k=-3;k-3

判别式A=b²-4ac

A0

A=0

A0

二次函数

y=ax²+br+c

的图象

O

工工

O

工

一元二次方程ax²+br+c=0的根

两个不相等的实数根xj、x₂

两个相等的实数

没有实数根

二次函数

y=ax²+br+c的图

象与x轴的公共点

有两个公共点

有一个公共点

没有公共点

注已知二次西数y=ax²+bx+c的函数

值m,求自变量x的值，可以看作解

一元二次方程ax²+bx+c=m;反过来，

解一元二次方程ax²+bx+c=m,可以

看成已知二次函数y=ax²+bx+c的函数值m,求自变量x的值.

知识点1.二次函数与一元二次方程的联系(难点)

二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴的交点与一元二次方程

ax²+bx+c=0的根之间的关系：

二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴公共点的横坐标就是一元二次