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LinearAlgebra（2credits）2.5.1RankofaMatrix
1.RankofamatrixDefinition1Foranmatrixweselectanyrowsandcolumnsofthenformadeterminantoforderfromtheentriesatthecrossoftheselectedrowsandcolumns,withtheir-ordersunchanged.Thedeterminantobtainedaboveisreferredtoastheoperationsonamatrixarereferredtoasank-orderminorofA.Foranmatrix,therearek-orderminors.
Definition2Formatrixifthereexistsanonzeror-orderminor,andallthe(r+1)-orderminors(ifexist)arezero,thenistheminorofthemaximumorder,andtheintegerrisreferredtoastherankofdenotedasTherankofazeromatrixisTherankisthemaximumorderofallthenonzerominorsofthematrixForanditstransposewehave
EXAMPLE1.FindtherankofSolutionInmatrixSincetheunique3-orderminorisand
SolutionEXAMPLE2.FindtherankofSincematrixisrowechelonformandtherearethreenonzerorows,theneach4-orderminorofiszero.
QuestionDoestherankchangebytheseoperations?2.MethodofcalculatingrankEachmatrixcanbeconvertedtorowechelonformbyperformingafinitesequenceofelementaryrowoperations.Theorem1Ifthen
Methodofcalculatingrankbyelementaryoperations:Whenamatrixisconvertedtorowechelonformbyelementaryrowoperations,thenumberofnonzerorowsistherank.EXAMPLE2.Findtherankofandanonzerominorofthemaximumorder.
SolutionConvertintorowechelonform:
Sincethereare3nonzerorowsintheechelonform,
(1)Findthemaximumorderofthenonzerominorofthematrix.(2)Weconvertthematrixintorowechelonformbyelementaryrowoperations,thenthenumberofnonzerorowsinechelonformistherank.Methodsofcalculatetherankofamatrix:3.REVIEWS
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