2024贵阳中考数学二轮中考题型研究 题型十二 几何综合题 （含答案）.pdf

2024贵阳中考数学二轮中考题型研究

题型十二几何综合题

类型一结合数学文化的几何探究

典例精讲

例(1)阅读理解

我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉

代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦

图”．

根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程；

【思维教练】利用等面积法即可证明勾股定理．

例题图①

(2)问题解决

勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形ACDE的中心O，

作FG⊥HP，将它分成4份，所分成的四部分和以BC为边的正方形恰好能拼成以AB为边

的正方形．若AC＝12，BC＝5，求EF的值；

【思维教练】由题意可以得到EF－FD＝BC，结合EF＋FD＝AC分情况讨论即可得到EF

的值．

例题图②

(3)拓展探究

如图③，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作

正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”的部分图形．设大正方形N的边长为定值n，

小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d.

已知∠1＝∠2＝∠3＝α，当角α(0°α90°)变化时，探究b与c的关系式，并写出该关系式

及解答过程(b与c的关系式用含n的式子表示)．

【思维教练】由题意可以得到图中三个三角形均相似，利用相似的性质即可求解．

例题图③

针对演练

1.阅读下列材料，并完成相应任务．

古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》提出了“欧几里得定理”：在直角三角形中，斜

边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射

影和斜边的比例中项．

欧几里得定理是数学图形计算的重要定理．其符号语言是：

如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，则：

2

(1)CD＝AD·BD；

2

(2)AC＝AD·AB；

2

(3)BC＝BD·AB.

任务：

2

(1)请你证明定理中的结论：BC＝BD·AB；

(2)应用：如图②，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD

上，过点C作CF⊥BE，垂足为点F，连接OF.

①求证：△BOF∽△BED：

②若BE＝210，求OF的长．

图①

图②

第1题图

5－1

2.【阅读理解】在数学上称短边与长边的比是(约为0.618)的矩形为黄金矩形(Golden

2

Rectangle)．

(1)某校团委举办“五·四手抄报比赛”，手抄报规格统一设计成长是40cm的黄金矩形，则

宽约为__________________cm；(精确到0.1cm)

【操作发现】利用一张正方形纸片折叠出一个黄金矩形．

第一步，如图①，折叠正方形纸片ABCD，使AB和DC重合，得到折痕EF(点E，F分别在

边AD，BC上)，然后把纸片展平．

第2题图

第二步，如图②，折叠正方形纸片ABCD，使得BC落在BE上，点C′和点C对应，得到折

痕BG(点G在CD上)，再次把纸片展平．

第三步，如图③，沿过点G的直线折叠正方形纸片ABCD，使点A和点D分别落在AB和

CD上，折痕为HG，显然四边形HBCG为矩形．

(2)在上述操作中，以AB＝2为例，证明矩形HBCG是黄金矩形；

【拓广探索】“希望小组”的同学通过探究发现：以黄金矩形的长边为一边，在原黄金矩形

外作正方形，得到的新矩形仍然是黄金矩形．

(3)如图④，如果四边形ABCD是黄金矩形(ABAD