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4.1.2DefinitionandSolvingMethodofBasicSetofSolutions
IfyoucanfindabasisS0forS，thenanyelementofS(thesolutionofhomogeneouslinearequations)canbelinearlyrepresentedbythebasis.ThesetSofallthesolutionsforthehomogeneouslinearequationsisavectorspace,thenSiscalledSolutionSpace.Howtodefindthebasisofthesolutionspace?Howmanylinearlyindependentvectorsdoesitconsistof?？Howtoformthebasisofthesolutionspace？Questions
Definition1.DefinitionofbasicsetofsolutionsTheaboveexpressioniscalledthegeneralsolutionexpressionof.ThebasisofthesolutionspaceS0iscalledthebasicsetofsolutionsof.Ifthenanysolutionofcanbeexpressedas
Definitionarecalledthebasicsetofsolutionsofhomogeneouslinearequations,if?(1)areagroupoflinearlyindependentsolutionsof;?(2)Anysolutionofcanbelinearlyrepresentedby.?
2.ToformthebasicsetofsolutionsLettherankofthecoefficientmatrixofthehomogeneouslinearequationsbe，andforconvience,setthefirstcolumnvectorstobelinearlyindependent.Afterelementaryrowoperations,itcanbetransformedinto
Thusweget?Thenputthemintotheequations,separately?
Thereforeweobtainsolutionsoftheoriginalequations：
Nowwewillshowthatisabasicsetofsolutionsofhomogeneouslinearequations.Becauseofthelinearlyindependenceofthedimensionvectorsthendimensionvectorsarealsolinearlyindependent.(1)arelinearlyindependent
Sincearethesolutionsof,arethesolutionof.(2)Provethatanysolutioninthesolutionsetcanbewrittenasalinearcombinationof.?andsetthefollowinglinearcombination?
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