专题03 平面向量的综合应用【考点串讲】(解析).docxVIP

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专题03平面向量的综合应用

知识点1平面向量在几何中的应用

1、用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”:

(1)建立平面几何与向量的关系,用向量表示问题中涉及到的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;

(2)通过向量运算,研究元素之间的关系,如距离、夹角等问题;

(3)把运算结果“翻译”成几何关系.

2、利用向量解决平面几何的两种经典方法及步骤:

线性运算法

(1)选取合适的基底(一般选择夹角和模长已知的两个向量);

(2)利用基底表示相关向量;

(3)利用向量的线性运算或数量积找到相应关系;

(4)把计算结果“翻译”为几何问题.

坐标运算法

(1)建立适当的直角坐标系(尽可能让更多的点在坐标系上);

(2)把相关向量坐标化;

(3)用向量的坐标运算找到相应关系;

(4)利用向量关系回答几何问题.

3、平面几何中证明问题的具体转化方法

(1)证明线段,可转化为证明;

(2)证明线段,只需证明存在一个实数,使成立;

(3)证明两线段,只需证明数量积;

(4)证明三点共线,只需证明存在一个,使成立.

知识点2平面向量最值范围问题的常用方法

1、定义法

第1步:利用向量的概念及其基本运算将所求的问题转化为相应的等式关系;

第2步:运用基本不等式求其最值问题;

第3步:得出结论.

2、坐标法

第1步:根据题意建立适当的直角坐标系,并推导关键点的坐标;

第2步:将平面向量的运算坐标化;

第3步:运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数思想等求解.

3、基底法

第1步:利用基底转化向量;

第2步:根据向量运算化简目标;

第3步:运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数等得出结论;

4、几何意义法

第1步:结合条件进行向量关系推导;

第2步:利用向量之间的关系确定向量所表达的点的轨迹;

第3步:结合图形,确定临界位置的动态分析求出范围.

知识点3极化恒等式

1、极化恒等式:

(1)平行四边形模式:如下图,平行四边形ABCD,O是对角线交点.则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)[|AC|2－|BD|2].

(2)三角形模式:如上图,在△ABC中,设D为BC的中点,则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|AD|2－|BD|2.

2、极化恒等式的作用和使用范围

(1)极化恒等式的作用:

建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁,实现向量与几何、代数之间的互相转化.

(2)极化恒等式的适用范围:

共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化;不共起点和不共终点的数量积问题

可通过向量的平移,等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题.

3、极化恒等式使用方法

在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下,极化恒等式的一般步骤如下:

第一步:取第三边的中点,连接向量的起点与中点;

第二步:利用极化恒等式公式,将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差;

第三步:利用平面几何方法或用正余弦定理求中线及第三边的长度,从而求出数量积,

如需进一步求数量积范围,可以用点到直线的距离最小

或用三角形两边之和大于等于第三边,两边之差小于第三边

或用基本不等式等求得中线长的最值(范围).

知识点4三角形的四心

1、常见重心向量式:设O是?ABC的重心,P为平面内任意一点

(1)

(2)

(3)若QUOTEAP=λAB+AC或,,则P一定经过三角形的重心

(4)若或QUOTEOP=OA+λABABsinB+ACACsinC,

2、常见内心向量式:P是?ABC的内心,

(1)ABPC+BCPA

其中a,b,c分别是?ABC的三边BC、AC

(2)AP=λABAB+AC

3、常用外心向量式:O是?ABC的外心,

(1)OA

(2)OA

(3)动点P满足OP=

则动点P的轨迹一定通过?ABC的外心.

(4)若OA+OB?AB=OB+

4、常见垂心向量式:O是?ABC的垂心,则有以下结论

(1)OA

(2)OA

(3)动点P满足QUOTEOP=OA+λABABcosB+ACACcosC,λ∈

(4)奔驰定理推论S?BOC:

知识点5奔驰定理及其推论

1、奔驰定理:O是内的一点,且QUOTEx?OA+y?OB+z?OC=0,

2、奔驰定理推论:QUOTEx?OA+y?OB+z?OC=0

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