利用空间向量研究夹角问题课件-2025届高三数学一轮复习.pptxVIP

必备知识·逐点夯实第八节利用空间向量研究夹角问题第八章立体几何初步、空间向量与立体几何核心考点·分类突破

【课标解读】【课程标准】能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题,并能描述解决这一类问题的程序,体会向量方法在研究几何问题中的作用.

【核心素养】直观想象、数学运算、逻辑推理.【命题说明】考向考法高考题常以求线面角、二面角为载体,考查空间向量的应用.与二面角相关的问题是高考的热点,主要出现在解答题中.预测2025年高考本节内容仍会与立体几何知识结合考查,试题难度中档.

必备知识·逐点夯实

知识梳理·归纳1.异面直线所成角设a,b分别是两异面直线l1,l2的方向向量,则微点拨异面直线方向向量夹角的余弦值可能为负值,异面直线所成角的余弦值一定为非负值.项目a与b的夹角βl1与l2所成的角θ范围_______________求法______________cosθ=|cosβ|=(0,π)???

2.直线与平面所成的角(1)范围:________;?(2)向量求法:设直线AB的方向向量为u,平面α的法向量为n,直线AB与平面α所成的角为θ,则sinθ=______________=________.?微点拨不平行于平面的直线与平面所成的角为锐角或直角,其正弦值等于直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值的绝对值.?|cosu,n|?

?|cosn1,n2|

4.二面角的大小(1)如图①,AB,CD是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的直线,则二面角的大小θ=______________.?(2)如图②③,n1,n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ满足|cosθ|=_______________.?微点拨在空间几何体的直观图中,有时不容易直观确定二面角的大小,若条件中未明确给出,一般以锐二面角为主.?|cosn1,n2|

?类型辨析改编易错题号12,34××√√

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核心考点·分类突破

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(2)如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,点E,F分别是棱AB,BB1的中点,则直线EF和BC1所成的角为.?60°

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解题技法利用空间向量求两异面直线所成角的步骤(1)建立适当的空间直角坐标系.(2)求出两条异面直线的方向向量的坐标.(3)利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角.(4)结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角.

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考点三平面与平面的夹角(规范答题)[例3](12分)(2023·新高考Ⅰ卷)如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4.点A2,B2,C2,D2分别在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.(1)证明:B2C2∥A2D2;

规范答题敲重点·水到渠成【解析】(1)方法1(几何法):连接AC,A2B2,设A2C2,AC的中点分别为O,O1,连接BD,B2D2,O1O,由题设得,O1O是梯形AA2C2C的中位线,所以O1O=2.………………1分由题设可得O1O∥BB2∥DD2,且O1O=BB2=DD2,又O1是BD的中点,因此O是B2D2的中点,…………………2分故A2B2C2D2为平行四边形,………………3分所以B2C2∥A2D2.…………4分

关键点证明空间中两条直线平行的关键是先证明这两条直线确定了一个平面,再利用平面几何中证明平行的定理加以论证即可.

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敲黑板本题考查线线平行的几何证明方法,解决问题时,利用向量运算法和坐标运算法要优于几何法.

[例3](12分)(2023·新高考Ⅰ卷)如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4.点A2,B2,C2,D2分别在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.(2)点P在棱BB1上,当二面角P-A2C2-D2为150°时,求B2P.

?关键点设出点P的坐标.

?避误区通过列方程求出λ=1或λ=3,两个结果不可舍去其中的一个,造成解答不完整.

所以P(0,2,1)或P(0,2,3),即BP=1或BP=3,……………………11分综上,当二面角P-A2C2-D2为150°时,B2P=1.………12分

阅卷现场1.建系可以文字语言叙述,也可以在图上标出,只要有建系就得1分.

2.法向量只要正确就得2分.

3.有两个法向量的夹角公