专题01 导数的概念与运算【考点串讲】（解析）.docxVIP

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专题01导数的概念与运算

知识点1瞬时速度

(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．

(2)一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度为.如果Δt无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当Δt无限趋近于0时，eq\f(Δs,Δt)的极限是v，这时v就是物体在时刻t＝t0时的瞬时速度，

即瞬时速度v＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))

知识点2函数的平均变化率

对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx)．这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．我们把比值，即＝叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率．

知识点3函数在某点处的导数

如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0)).

知识点4导数的几何意义

（1）割线斜率与切线斜率

设函数y＝f(x)的图象如图所示，直线AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是＝

当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，直线AD叫做此曲线在点A处的切线．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))

（2）导数的几何意义

函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

知识点5导函数的定义

从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看出，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数．这样，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数记作f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0)).

特别提醒：

区别

联系

f′(x0)

f′(x0)是具体的值，是数值

在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值

f′(x)

f′(x)是函数f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数

知识点6几个常用函数的导数

原函数

导函数

f(x)＝c

f′(x)＝0

f(x)＝x

f′(x)＝1

f(x)＝x2

f′(x)＝2x

f(x)＝x3

f′(x)＝3x2

f(x)＝eq\f(1,x)

f′(x)＝－

f(x)＝eq\r(x)

f′(x)＝

知识点7基本初等函数的导数公式

原函数

导函数

f(x)＝c(c为常数)

f′(x)＝0

f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)

f′(x)＝αxα－1

f(x)＝sinx

f′(x)＝cos?x

f(x)＝cosx

f′(x)＝－sin?x

f(x)＝ax(a0，且a≠1)

f′(x)＝axln?a

f(x)＝ex

f′(x)＝ex

f(x)＝logax(a0，且a≠1)

f′(x)＝

f(x)＝lnx

f′(x)＝

知识点8导数的运算法则

已知f(x)，g(x)为可导函数，且g(x)≠0.

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．

(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，特别地，[cf(x)]′＝cf′(x)．

(3).

知识点9复合函数的导数

（1）复合函数的概念

一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．

（2）复合函数的求导法则

一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对