(3.10)--2.4初等变换初等矩阵.pdf

2.4初等变换与初等矩阵

一、矩阵的初等变换

定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换:



1对调两行（对调i,j两行,记作rr）；

ij



2以数k0乘以某一行的所有元素;

（第i行乘k,记作rk）

i



3把某一行所有元素的k倍加到另一行

对应的元素上去（第j行的k倍加到第i行上

记作rkr）.

ij

同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是

把“r”换成“c”)．

定义2矩阵的初等行变换与初等列变换统称为

矩阵的初等变换．

初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型

相同．

rrrr;

ij逆变换ij

1

rk逆变换r()或rk;

iii

k

rkr逆变换r(k)r或rkr.

ijijij

如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B，

就称矩阵A与B等价，记作A~B．

显然，对方阵的初等变换不改变方阵的可逆性。

等价关系的性质：

（1）反身性A~A；

（2）对称性若A~B,则B~A;

（3）传递性若A~B,B~C,则A~C.

其中，如果矩阵A经有限次初等行变换变成矩

阵B，就称矩阵A与B行等价；如果矩阵A经有限

次初等列变换变成矩阵B，就称矩阵A与B列等价．

二、初等矩阵

定义由单位矩阵经过一次初等变换得到的方

E

阵称为初等矩阵.

问题：六种初等变换对应着几种初等矩阵？

1.对调两行或两列；



2.以数k0乘某行或某列；

3.以数k乘某行（列）加到另一行（列）上去．



1、对调两行或两列

对调E中第i,j两行，即(rr)，得初等方阵

ij

1





1



01第i行

1