4.4　数学归纳法试题.docx

4.4*数学归纳法

课标要求1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题.

素养要求通过利用数学归纳法证明与自然数n有关的数学命题，发展逻辑推理和数学运算素养.

一、数学归纳法的定义

1.思考(1)如果你从袋子里拿出5个小球，发现全部都是绿色的，能否判断袋子里面的小球都是绿色的？

提示不能.通过考察部分对象，得到一般的结论的方法，叫不完全归纳法.不完全归纳法得到的结论不一定正确.例如，在我们数学上有费马猜想、哥德巴赫猜想等，他们所用的就是不完全归纳法，至于最终的结论能否成立，只能留给你们了.

(2)在多米诺骨牌游戏中，如何保证所有的骨牌全部倒下？

提示要保证任意相邻两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块倒下，这样的话，只需要第一块骨牌倒下，就可导致后面所有的骨牌都能倒下.像这样以一种不同的方式来证明任意一个给定的情形都是正确的推理方法叫做数学归纳法.它是一种完全归纳的方法，虽有“归纳”这两个字，但其结论是正确的.

2.填空一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

(1)(归纳奠基)证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立；

(2)(归纳递推)以“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n＝k＋1时命题也成立”.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法.

3.做一做用数学归纳法证明1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)n(n∈N*，n1)时，第一步应验证不等式()

A.1＋eq\f(1,2)2 B.1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)2

C.1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)3 D.1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)3

答案B

解析由题意得，当n＝2时，不等式为1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)2，故选B.

二、数学归纳法中的两个步骤之间的关系

1.思考数学归纳法中的两个步骤之间有什么关系？

提示在数学归纳法的两步中，第一步证明了当n＝n0时结论成立，即命题P(n0)为真；第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：若P(k)为真，则P(k＋1)也为真.完成这两步，就有P(n0)真，P(n0＋1)真……P(k)真，P(k＋1)真…….从而完成证明.

2.填空记P(n)是一个关于正整数n的命题.可以把用数学归纳法证明的形式改写如下：

条件：(1)P(n0)为真；(2)若P(k)为真，则P(k＋1)也为真，结论：P(n)为真.

(1)第一步验证(或证明)了当n＝n0时结论成立，即命题P(n0)为真；

(2)第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：若P(k)为真，则P(k＋1)也为真.

只要将两步交替使用，就有P(n0)为真，P(n0＋1)真，……P(k)真，P(k＋1)真…….从而完成证明.

温馨提醒利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述n＝n0时命题的形式，二是要准确把握由n＝k到n＝k＋1时，命题结构的变化特点.并且一定要记住：在证明n＝k＋1成立时，必须使用归纳假设.

3.做一做用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程如下：

(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立.

(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝eq\f(1－2k＋1,1－2)＝2k＋1－1.所以当n＝k＋1时等式也成立.由此可知对于任何n∈N*，等式都成立.上述证明，错误是________.

答案未用归纳假设

解析本题在由n＝k成立证明n＝k＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上归纳假设，这与数学归纳法的要求不符.

题型一用数学归纳法证明等式

例1用数学归纳法证明：

eq\f(12,1×3)＋eq\f(22,3×5)＋…＋eq\f(n2,（2n－1）（2n＋1）)＝eq\f(n（n＋1）,2（2n＋1）)(n∈N*).

证明(1)当n＝1时，eq\f(12,1×3)＝eq\f(1×2,2×3)成立.

(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，

即有eq\f(12,1×3)＋eq\f(22,3×5)＋…＋eq\f(k2,（2k－1）（2k＋1）)

＝eq\f(k（k＋1）,2（2k＋1）)，

则当n＝k＋1时，

eq\f(12,1×3)＋eq\f(22,3×5)＋…＋eq\f(k2,（2k－1）（2k＋1）)＋eq\f(（k＋1）2,（2k＋1）（2k＋3）)

＝eq\f(k