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数列的极限

1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列{an}的项an无限地趋近于某个常数a（即|an－a|无限地接近于0），那么就说数列{an}以a为极限.

注：a不一定是｛an｝中的项.

2.几个常用的极限：①C=C（C为常数）;②=0;③qn=0（|q|＜1）.

3.数列极限的四则运算法则：设数列｛an｝、｛bn｝，

当an=a,bn=b时，（an±bn）=a±b;

（an·bn）=a·b;=（b≠0）.

●点击双基

1.下列极限正确的个数是

①=0（α＞0）②qn=0

③=－1④C=C（C为常数）

A.2 B.3

C.4D.都不正确

解析:①③④正确.

答案:B

2.［n（1－）（1－）（1－）…（1－）］等于

A.0 B.1 C.2 D.3

解析:［n（1－）（1－）（1－）…（1－）］

=［n××××…×］

==2.

答案:C

●典例剖析

【例1】求下列极限：

（1）;（2）（－n）;

（3）（++…+）.

剖析:（1）因为分子分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法则，可通过变形分子分母同除以n2后再求极限；（2）因与n都没有极限，可先分子有理化再求极限；（3）因为极限的运算法则只适用于有限个数列，需先求和再求极限.

解:（1）==.

（2）（－n）===.

（3）原式===（1+）=1.

评述:对于（1）要避免下面两种错误：①原式===1,②∵（2n2+n+7）,（5n2+7）不存在，∴原式无极限.对于（2）要避免出现下面两种错误：①（－n）=－n=∞－∞=0;②原式=－n=∞－∞不存

∴=6.

∴===6.

答案:D

2.（2018年北京）若数列{an}的通项公式是an=,n=1,2,…,则（a1+a2+…+an）等于

A.B.C.D.

解析:an=

即an=

∴a1+a2+…+an=（2－1+2－3+2－5+…）+（3－2+3－4+3－6+…）.

∴（a1+a2+…+an）=+=

答案:C

3.（2004年春季上海）在数列{an}中，a1=3，且对任意大于1的正整数n,点（,）在直线x－y－=0上，则=__________________.

解析:由题意得－=（n≥2）.

∴{}是公差为的等差数列，=.

∴=+（n－1）·=n.

∴an=3n2.

∴=

==3.

答案:3

4.（2004年上海,4）设等比数列{an}（n∈N）的公比q=－,且（a1+a3+a5+…+a2n－1）=,则a1=_________________.

解析:∵q=－,∴（a1+a3+a5+…+a2n－1）==.∴a1=2.

答案:2

5.（2004年湖南,理8）数列{an}中,a1=,an+an+1=,n∈N*,则（a1+a2+…+an）等于

A.B.C.D.

解析:2（a1+a2+…+an）=a1+［（a1+a2）+（a2+a3）+（a3+a4）+…+（an－1+an）］+an=+[++…+]+an.

∴原式=［++an］=（++an）.

∵an+an+1=,∴an+an+1=0.

∴an=0.

答案:C

6.已知数列｛an｝满足（n－1）an+1=（n+1）（an－1）且a2=6,设bn=an+n（n∈N*）.

（1）求{bn}的通项公式；

（2）求（+++…+）的值.

解:（1）n=1时，由（n－1）an+1=（n+1）（an－1）,得a1=1.

n=2时，a2=6代入得a3=15.同理a4=28,再代入bn=an+n,有b1=2,b2=8,b3=18,b4=32,由此猜想bn=2n2.

要证bn=2n2,只需证an=2n2－n.

①当n=1时，a1=2×12－1=1成立.

②假设当n=k时，ak=2k2－k成立.

那么当n=k+1时，由（k－1）ak+1=（k+1）（ak－1）,得ak+1=（ak－1）

=（2k2－k－1）=（2k+1）（k－1）=（k+1）（2k+1）=2（k+1）2－（k+1）.

∴当n=k+1时，an=2n2－n正确，从而bn=2n2.

（2）（++…+）=（++…+）

=［++…+］

=［1－+－+…+－］

=［1+－－］=.

培养能力

7.已知数列{an}、{bn}都是无穷等差数列,其中a1=3,b1=2,b2是a2与a3的等差中项,且