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最全高中三角函数总结
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三角函数做题技巧与方法总结
知识点梳理
1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像
2、三角函数的单调区间:
的递增区间是,递减区间是;
的递增区间是,递减区间是,
的递增区间是,
3、三角函数的诱导公式
sin(2kπ+α)=sinαsin(π+α)=-sinαsin(-α)=-sinα
cos(2kπ+α)=cosαcos(π+α)=-cosαcos(-α)=cosα
tan(2kπ+α)=tanαtan(π+α)=tanαtan(-α)=-tanα
sin(π-α)=sinαsin(π/2+α)=cosαsin(π/2-α)=cosα
cos(π-α)=-cosαcos(π/2+α)=-sinαcos(π/2-α)=sinα
tan(π-α)=-tanαtan(π/2+α)=-cotαtan(π/2-α)=cotα
sin2(α)+cos2(α)=1
4、两角和差公式5、二倍角的正弦、余弦和正切公式
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin2α=2sinαcosα
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβcos2α=cos2(α)-sin2(α)=2cos2(α)-1=1-2sin2(α)
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβtan2α=2tanα/(1-tan2(α))
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
6、半角公式:
;;
7、函数
最大值是,最小值是,周期是;其图象的对称轴是直线,凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心
8、由y=sinx的图象变换出y=sin(ωx+)的图象一般有两个途径,只有区别开这两个途径,才能灵活进行图象变换。
(2)
当,即时,有最小值;
当,即,有最大值1。
(3)
函数的周期性
例5、求下列函数的周期
分析:该例的两个函数都是复合函数,我们可以通过变量的替换,将它们归结为基本三角函数去处理。
(1)把看成是一个新的变量,那么的最小正周期是,就是说,当且必须增加到时,函数的值重复出现,而所以当自变量增加到且必须增加到时,函数值重复出现,因此,的周期是。
(2)即
的周期是。
说明:由上面的例题我们看到函数周期的变化仅与自变量的系数有关。
一般地,函数或(其中为常数,的周期。
例6、已知函数。
求的最小正周期、的最大值及此时x的集合;
解:
所以的最小正周期,因为,
所以,当,即时,最大值为;
函数的奇偶性
例7、判断下列函数的奇偶性
分析:可利用函数奇偶性定义予以判断。
解:(1)函数的定义域关于原点对称
函数应满足
函数的定义域不关于原点对称。 函数既不是奇函数又不是偶函数。
评注:判断函数奇偶性时,必须先检查定义域是否关于原点对称的区间,如果是,再验证是否等于
或,进而判断函数的奇偶性,如果不是,则该函数必为非奇非偶函数。
练习:已知函数的定义域,判断它的奇偶性,并求其值域.
解:
函数的单调性
例8、下列函数,在上是增函数的是()
分析:
解:与在上都是减函数,排除,,
知在内不具有单调性,又可排除,应选。
例9、已知函数
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;(Ⅱ)求f(x)的递增区间.
解:(Ⅰ)
∴最小正周期T=
(Ⅱ)由题意,解不等式
得
的递增区间是
小结:求形如的函数的单调区间,可以通过解不等式的方法去解答,列不等式的原则是:
三角函数思想方法归纳解析
数形结合思想
oxy图1
o
x
y
图1
y1
y2
例1.求不等式在上的解集。
解析:设,,在同一坐标系中作出在上两函数图像(如图1),在上解得的解为或
,故由图像得要使得,即,由于,在上为偶函数,故在上的解为,得原不等式的解集为
分类讨论思想
分类是根据对象的本质属性的异同将其划分为不同种类,即根据
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