第4节　三角函数的图象与性质.docx

第4节三角函数的图象与性质

[课程标准要求]

1能画出y=sin,y=s,y=tan的图象,了解三角函数的周期性

2理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与轴的交点等),理解正切函数在区间(-π2,π

1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

正弦函数y=sin,∈[0,2π]图象的五个关键点是(0,0),(π2,1),(π,0),(3π

余弦函数y=s,∈[0,2π]图象的五个关键点是(0,1),(π2,0),(π,-1),(3π

2正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质

函数

y=sin

y=s

y=tan

图象

定义域

R

R

{|≠π+π2,∈

值域

[-1,1]

[-1,1]

R

单调性

递增区间

[2π-π2,2π+π2](

递减区间

[2π+π2,2π+3π2](

递增区间

[2π-π,2π](∈),

递减区间

[2π,2π+π](∈)

递增区间

(π-π2,π+π2)(

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

对称性

对称中心

(π,0)(∈)

对称中心

(π+π2,0)(∈

对称中心

(kπ2,0)(

对称轴

=π+π2(∈

对称轴

=π(∈)

—

周期性

2π

2π

π

1对称性与周期

(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14

(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期

2要注意求函数y=Asin(ω+)的单调区间时A和ω的符号,尽量化成ω0,避免出现增减区间混淆的情况

3对于y=tan不能认为其在定义域上为增函数,而是在每个区间(π-π2,π+π2)(

1若函数y=2sin2-1的最小正周期为T,最大值为A,则(A)

AT=π,A=1 BT=2π,A=1

T=π,A=2 DT=2π,A=2

2函数f()=2cosx-

A[π3+2π,2π3+2π](

B[π6+2π,5π6+2π](

[-π3+2π,π3+2π](

D[-π6+2π,π6+2π](

解析由题意,函数f()=2cosx-1有意义,则满足2s-1≥0,即s≥12,解得-π3+2π≤≤π3+2π,∈,所以函数f()的定义域为[-π3

3(多选题)已知函数f()=sin2+2s2,则(B)

Af()的最大值为3

Bf()的图象关于直线=π8

f()的图象关于点(-π8

Df()在[-π4,π

解析f()=sin2+2s2=sin2+s2+1=2sin(2+π4)+1,则f()的最大值为2

f(π8)=2sin(2×π8+π4

则f()的图象关于直线=π8

f(-π8)=2sin[2×(-π8)+

则f()的图象关于点(-π8,1)对称,故

当∈[-π4,π4]时,2+π4∈[-π

故当2+π4∈[-π4,π2],即∈[-π

函数单调递增;

当2+π4∈[π2,

即∈[π8,π

函数单调递减,故D错误

4s23°,sin68°,s97°的大小关系是?

解析sin68°=s22°,

又y=s在[0,π]上是减函数,

所以s22°s23°s97°,

即sin68°s23°s97°

答案sin68°s23°s97°

5(必修第一册P207练习T5改编)函数y=s(π4-2)的单调递减区间为

解析由y=s(π4-2)=s(2-π

得2π≤2-π4≤2π+π(∈

解得π+π8≤≤π+5π8(

所以函数的单调递减区间为[π+π8,π+5π8](

答案[π+π8,π+5π8](

三角函数的定义域、值域

1函数y=2sin(πx6-π

A2-3 B0

-1 D-1-3

解析因为0≤≤9,所以-π3≤πx6-π

所以sin(πx6-π3

所以y∈[-3,2],所以ya+yin=2-3

2函数y=1tanx-

解析要使函数有意义,

则tan

即x

故函数的定义域为{|≠π4+π,且≠π2+π,

答案{|≠π4+π,且≠π2+π,

3函数y=sinx-cos

解析法一要使函数有意义,必须使sin-s≥0在同一平面直角坐标系中画出[0,2π]上y=sin和y=s的图象,如图所示

在[0,2π]内,满足sin=s的的值为π4,5π4,再结合正弦、余弦函数的周期是2π,所以函数y=sinx-cosx的定义域为{|2π+π4

法二sin-s=2sin(-π4)≥0,将-π4视为一个整体,由正弦函数y=sin的图象和性质可知2π≤-π4≤π+2π,∈,解得2π+π4≤≤2π+5π4,∈,所以函数y=sinx-cosx的定义域为{|2

答案{|2π+π4≤≤2π+5π4,

4当∈[π6,7π6]时,函数y=3-sin-2s2的值域为

解析因为∈