(7.7)--2006年考研题及答案线性代数.doc

PAGE

PAGE53

2006年研究生入学试题

线性代数部分

一、填空题

1．设矩阵，E为2阶单位阵，矩阵B满足，则

。

2．已知为2维向量，矩阵，，若行列式，则。

二、选择题

1．设均为n维向量，A是矩阵，下列选项正确的是（）。

（A）若线性相关，则线性相关。

（B）若线性相关，则线性无关。

（C）若线性无关，则线性相关。

（D）若线性无关，则线性无关。

2．设A是三阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的-1倍加到第2列得C,记，则（）.

(A).(B).(C).(D)

三、计算证明题

1．已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解。

（I）证明方程组系数矩阵A的秩。

(II)求a,b的值及方程组的通解。

2．设3阶实矩阵A的各行元素之和均为3，向量，是线性方程组的两个解。

（I）求A的特征值和特征向量。

（II）求正交矩阵Q和对角矩阵，使得。

3．设4维向量，，

，。问a为何值时，线性相关？当线性相关时，求其一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表出。

4．设3阶实矩阵A的各行元素之和均为3，向量，是线性方程组的两个解。

（I）求A的特征值和特征向量。

（II）求正交矩阵Q和对角矩阵，使得.

（III）求A及，其中E为3阶单位阵。

.

答案和提示

一、1．2。2．－2。

二、1．A。2．B.

三、1．设是该线性方程组的3个线性无关的解，则是对应的齐次线性方程组的两个线性无关的解，因而，即。

又A有一个2阶子式，于是，因此。

（II），方程组通解为

，其中为任意常数。

2．当时，线性相关。

当时，是的一个极大无关组，且，。当时，为的一个极大无关组，且。

3．（I）A的特征值为0，0，3，属于特征值0的全体特征向量为，（不全为0），属于特征值3的全体特征向量为。

（II），，那么Q为正交矩阵，且。

（III），=.