第4节　幂函数与二次函数.docx

第4节幂函数与二次函数

[课程标准要求]

1通过具体实例,结合y=,y=1x,y=2,y=x12

2理解二次函数的图象和性质,能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题

1幂函数

(1)幂函数的定义

一般地,函数y=α叫做幂函数,其中是自变量,α是常数

(2)常见的五种幂函数的图象与性质

函数

y=

y=2

y=3

y=x

y=-1

图象

续表

函数

y=

y=2

y=3

y=x

y=x

性

质

定义域

R

R

R

{|≥0}

{|≠0}

值域

R

{y|y≥0}

R

{y|y≥0}

{y|y≠0}

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

非奇非偶

函数

奇函数

单调性

在R上单调递增

在(-∞,0]上单调递减;在(0,+∞)上单调递增

在R上单调递增

在[0,+∞)上单调递增

在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减

公共点

(1,1)

2二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式

一般式

f()=a2+b+(a≠0),图象的对称轴是=-b2a,顶点坐标是(-b2a,

顶点式

f()=a(-)2+n(a≠0),图象的对称轴是=,顶点坐标是(,n)

零点式

f()=a(-1)(-2)(a≠0),其中1,2是方程a2+b+=0的两根,图象的对称轴是=x

(2)二次函数的图象与性质

函数

y=a2+b+

(a0)

y=a2+b+

(a0)

图象

(抛物线)

定义域

R

值域

[4ac

(-∞,4ac

对称轴

=-b

顶点

坐标

(-b2a,

续表

函数

y=a2+b+

(a0)

y=a2+b+

(a0)

奇偶性

当b=0时,是偶函数,

当b≠0时,是非奇非偶函数

单调性

在(-∞,-b2a]上是减函数,在[-b2a

在(-∞,-b2a]上是增函数,在[-b2a

1(多选题)(必修第一册P91练习T3改编)下列关于幂函数图象和性质的描述中,正确的是(AB)

A幂函数的图象都过点(1,1)

B幂函数的图象都不经过第四象限

幂函数必定是奇函数或偶函数中的一种

D幂函数必定是增函数或减函数中的一种

解析因为1α=1,所以幂函数的图象都经过点(1,1),故A正确;当0时,α0,幂函数的图象都不经过第四象限,故B正确;y=x12的定义域为[0,+∞),为非奇非偶函数,故错误;y=

2如图是①y=a;②y=b;③y=在第一象限内的图象,则a,b,的大小关系为(D)

Aba Bab

ba Dab

解析令=2,结合图象有2a22b,

所以ab

3若一次函数y=a+b的图象经过第二、第三、第四象限,则二次函数y=a2+b的图象可能是()

解析因为一次函数y=a+b的图象经过第二、第三、第四象限,所以a0,b0,所以二次函数y=a2+b的图象开口向下,对称轴=-b2

4若函数f()=42--8在[5,20]上单调,则实数的取值范围为?

解析由题意,得k8≥20或k

解得≥160或≤40

答案(-∞,40]∪[160,+∞)

5(2022·浙江杭州联考)已知函数f()=2-2a+b(a1)的定义域和值域都为[1,a],则b=?

解析因为f()=2-2a+b的图象关于直线=a对称,

所以f()在[1,a]上为减函数,

又f()的值域为[1,a],

所以f

解得a=2或a=1(舍去),所以b=5

答案5

幂函数的图象与性质

1(2023·河南郑州调研)若幂函数y=f()的图象过点(4,2),则幂函数y=f()的大致图象是()

解析设幂函数的解析式为y=α,因为幂函数y=f()的图象过点(4,2),所以2=4α,解得α=12,所以y=x,其定义域为[0,+∞),且是增函数,当01时,其图象在直线y=的上方,对照选项,

2已知a=243,b=323

Aba Bab

ba Dab

解析由题意得b=32342

a=243=423

3(2022·湖南长沙质检)幂函数f()=(2-3+3)的图象关于y轴对称,则实数=?

解析由幂函数定义,知2-3+3=1,解得=1或=2,当=1时,f()=的图象不关于y轴对称,舍去,当=2时,f()=2的图象关于y轴对称,因此=2

答案2

4若(a+1)12(3-2a)1

解析易知函数y=x12

解得-1≤a2

答案[-1,23

(1)求解与幂函数图象有关的问题,应根据幂函数在第一象限内图象的特征,结合其奇偶性、单调性等性质研究

(2)比较幂值的大小时,若同底数的幂函数用指数函数的性质比较,若同指数,可构造幂函数,利用幂函数的性质比较大小,若不同底数、指数时可利用中间变量或作差(作商)法比较

注意研究幂函数y=α(α∈R)的奇偶性、定义域、值域时,若α是分数,一般先将其化为根式,再求解

二次函数的解析式

[例1]已知二次函数f()满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f()的最大值是8,