第4节 三角函数的图象与性质.doc

第4节三角函数的图象与性质

考试要求1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质.

1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

(1)正弦函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0).

(2)余弦函数y＝cosx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1).

2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)

函数

y＝sinx

y＝cosx

y＝tanx

图象

定义域

R

R

{xeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x∈R，且))x≠kπ＋eq\f(π,2)}

值域

[－1，1]

[－1，1]

R

最小正周期

2π

2π

π

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

递增区间

eq\b\lc\[(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)))

[2kπ－π，2kπ]

eq\b\lc\((\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，))eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)))

递减区间

eq\b\lc\[(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(3π,2)))

[2kπ，2kπ＋π]

无

对称中心

(kπ，0)

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))

对称轴方程

x＝kπ＋eq\f(π,2)

x＝kπ

无

1.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是eq\f(1,4)个周期.正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.

2.三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式.

3.对于y＝tanx不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)内为增函数.

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)余弦函数y＝cosx的对称轴是y轴.()

(2)正切函数y＝tanx在定义域内是增函数.()

(3)已知y＝ksinx＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.()

(4)y＝sin|x|是偶函数.()

答案(1)×(2)×(3)×(4)√

解析(1)余弦函数y＝cosx的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条.

(2)正切函数y＝tanx在每一个区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.

(3)当k0时，ymax＝k＋1；当k0时，ymax＝－k＋1.

2.(2022·福州质检)下列函数中，周期为π，且在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上单调递增的是()

A.y＝|sinx| B.y＝tan2x

C.y＝cos2x D.y＝sin2x

答案C

解析对于A，y＝|sinx|的周期为π，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上单调递减，不合要求；

对于B，y＝tan2x的周期为eq\f(π,2)，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))上单调递增，不合要求；

对于C，y＝cos2x的周期为π，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上单调递增，符合要求；

对于D，y＝sin2x的周期为π，在eq\b\lc\(\rc\)(