(7.5)--2004年考研题及答案线性代数.doc

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2004年研究生入学试题

线性代数部分

一、填空题

1．设矩阵，矩阵B满足，其中A*为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则。

2．二次型的秩为。

3．设，，其中P为三阶可逆矩阵，则

。

4．设是实正交矩阵，且，则线性方程组的解为。

二、单项选择题

1．设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B，再把B的第2列加到第3列得C，则满足AQ=C的可逆矩阵Q为（）。

（A），（B），（C），（D）。

2．设A，B为满足AB=O的任意两个非零矩阵，则必有（）。

（A）A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关。

（B）A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关。

（C）A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关。

（D）A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关。

3．设n阶矩阵A与B等价，则必有（）。

（A）当时，。B）当时，。

（C）当时，。（D）当时，。

4．设n阶矩阵A的伴随矩阵，若是非齐次线性方程组的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组的基础解系（）。

（A）不存在（B）仅含一个非零解向量。

（C）含有两个线性无关的解向量）。（D）含有三个线性无关的解向量。

三、计算证明题

1．设有齐次线性方程组

，

试问为何值时，该方程组有非零解，并求出其通解。

2．设矩阵的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可相似对角化。

3．设，，，

,试讨论当a,b为何值时，

(I)不能由线性表示；

(II)可由唯一地线性表示，并求出表示式；

(I)可由线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式。

4．设n阶矩阵

（I）求A的特征值和特征向量；

（II）求可逆矩阵P，使为对角阵。

5．设线性方程组，已知是该方程组的一个解，试求：

（I）方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解。

（II）该方程组满足的全部解。

6．设三阶实对称A的秩为2，是A的二重特征值，若，都是A的属于特征值6的特征向量。

（I）求A的另一特征值和对应的特征向量；

（II）求矩阵A。

.

考研线性代数试题答案和提示

一、。2.2.3.。4.。

二、1.D。2．A。3.D。4.B。

三、1．当时，方程组有非零解，通解为，其中为任意常数。当时，若，方程组也有非零解，方程组的通解为，其中为任意常数。

2．A的特征多项式为。

若是特征方程的二重根，则有，解得。与对应的线性无关特征向量有两个，从而A可相似对角化。

若不是特征方程的二重根，则有为完全平方，从而解得。此时，A的特征值为2，4，4，与对应的线性无关特征向量只有一个，从而A不可相似对角化。

3.（I）当为任意常数时，，不能由线性表示；

（II）当且时，，可由唯一地线性表示，其表示式为：。

（III）当时，，可由线性表示，但表示式不唯一，其表示式为：。

4.（I）1）当时，A的特征值为。对于，全部特征向量为，为任意非零常数。

对于，全部特征向量为，是不全为零的常数）。

2）当时，特征值，任意非零列向量均为特征向量。

（II）当时，A有n个线性无关的特征向量，令，则

。当时，，对任意可逆矩阵P，均有。

5.（I）当时，方程组有无穷多解，全部解为

，其中k为任意常数。

当时，方程组有无穷多解，全部解为

，其中为任意常数。

（II）当时，由于，即，解得，方程组的解为

。

当时，由，得，故全部解为

，其中为任意常数。

6.（I）A的另一特征值。A的属于特征值的特征向量为

，（c是不为零的任意常数）。

（II）.