(7.9)--2008年考研题及答案线性代数.doc

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2008年研究生入学试题

线性代数部分

一、填空题

1．设A为2阶矩阵，为线性无关的2维列向量，，则A的非零特征值为。

2．设3阶矩阵A的特征值为1,2,2,。

3．设3阶矩阵A的特征值为,2,3,若行列式，则。

4．设3阶矩阵A的特征值互不相同，若行列式，则A的秩为。

二、选择题

1．设A为n阶非零矩阵E为n阶单位矩阵若，则（）。

A)E-A不可逆，E+A不可逆；B)E-A不可逆，E+A可逆；

C)E-A可逆，E+A可逆；D)E-A可逆，E+A不可逆。

2．设A为3阶非零矩阵，如果二次曲线方程，在正交变换下的标准方程的图形如图，则A的正特征值个数为（）

A)0；B)1；C)2；D)3。

3．设，则在实数域上与A合同矩阵为（）。

A)；B)；C)；D)。

三、解答题.

1．设，为的转置，为的转置

（I）证；(II)若线性相关，则。

2．设方阵，现矩阵A满足方程，其中，，

（1）求证；（2）a为何值，方程组有唯一解，求x;(3)a为何值，方程组有无穷多解，求通解。

3．设A为3阶方阵，为A的分别属于特征值-1,1，特征向量，向量满足，证明

（1）线性无关；（2）令，求

线性代数试题答案和提示

2008年

一、1.1。2.3.3.-1.4.2.

二、1．A.2.B.3.D.

三、1．解(1)

(2)若线性相关，不妨设，于是

所以．

2．解

。

（2）方程组有唯一解

由，如，又，故。

记，由克莱姆法则即知。，

方程组有无穷多解。

由，有。则

，故。

的通解方程组为，则基础解系为

又，故可取特解为。

所以的通解为。

3．解（1）假设线性相关，则可由线性表示，不妨设

，其中不全为零；（若全为零，则为0，由，可知）。

，。

所以，

又

所以，整理得。

则线性相关，矛盾。故线性无关。

（2）记，则P可逆。

，

即，所以.