(9.3)--第1章见面课线性代数.ppt

思维导图行列式是线性代数中最重要的概念之一，其研究可以追溯到17世纪中叶，比矩阵理论的出现早二百年左右.行列式起源于解线性方程组，其理论在自然科学、社会科学中有广泛的应用.在线性代数的研究中，最早见于中国古代的数学巨著《九章算术》中的第八章“方程”中，成书于公元一世纪左右，在解线性方程组时使用的直除法，与矩阵的初等变换一致，这是世界上最早、最完整的线性方程组的解法.而在西方，直到17世纪才由莱布尼兹提出完整的线性方程的解法法则.

重点解析全排列：把个不同的元素排成一列，叫作这个元素的全排列（简称排列）.个元素的排列的种数：逆序数对于个不同的元素，规定各元素之间一个顺序为标准顺序.当两个元素的先后顺序与标准顺序不同时，就说有1个逆序.一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数.逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列.

重点解析排列之逆序数计算的常用方法：对换在一个排列中，将其中某两个元素的位置对调，而其余元素不动，这种做出新排列的过程叫做对换.将相邻两个元素对换，叫做相邻对换.一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.

重点解析阶行列式定义设有个元素排成行列的数表称注：行标、列标排列逆序数，行标排列逆序数+列标排列逆序数.

重点解析性质1.1行列式与它的转置行列式相等.性质1.2互换行列式的两行（列），行列式变号.性质1.3行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式.性质1.4行列式中如果有两行（列）元素对应成比例，则此行列式为零.

重点解析性质1.5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，例如，

重点解析则等于下列两个行列式之和

重点解析性质1.6把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个数后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变.例如，

重点解析展开法（公式法）行列式等于它的任一行或列的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即或注：某行的元素乘以另外一行元素的代数余子式必为零.

重点解析克莱姆法则如果线性方程组（★）系数行列式不等于零，即

重点解析那么，该线性方程组存在唯一解其中是把系数行列式中第列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的阶行列式

重点解析如果线性方程组（★）的系数行列式不等于零，则方程组（★）一定有解，且解是唯一的.如果线性方程组（★）无解或有两个不同的解，则方程组（★）的系数行列式必为零.如果齐次线性方程组的系数行列式不等于零，则方程组没有非零解（即只有零解）.如果齐次线性方程组有非零解，则方程组的系数行列式必为零.

典型例题1借助范德蒙行列式计算

典型例题

典型例题2化为上（下）三角形法、消元法

典型例题

典型例题3数学归纳法证明当时，当时，

典型例题假设时，等式成立，则只需证明当时，等式也成立.将行列式按第一行展开得

典型例题4递推法按照第一行展开，可得当时，当时，

典型例题5辅助函数法

典型例题的系数是

典型例题6加边法

典型例题7问取何值时，齐次线性方程组有非零解？由得到，或.

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