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第4节三角函数的图象与性质

考试要求1.能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性；2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))内的单调性.

1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

(1)正弦函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0).

(2)余弦函数y＝cosx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1).

2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)

函数

y＝sinx

y＝cosx

y＝tanx

图象

定义域

R

R

{xeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x∈R，且))x≠kπ＋eq\f(π,2)}

值域

[－1，1]

[－1，1]

R

最小正周期

2π

2π

π

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

递增区间

eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))

[2kπ－π，2kπ]

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))

递减区间

eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))

[2kπ，2kπ＋π]

无

对称中心

(kπ，0)

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))

对称轴方程

x＝kπ＋eq\f(π,2)

x＝kπ

无

1.函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的周期T＝eq\f(2π,|ω|)，函数y＝Atan(ωx＋φ)的周期T＝eq\f(π,|ω|).

2.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是eq\f(1,2)T，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是eq\f(1,4)T，其中T为周期，正切曲线相邻两对称中心之间的距离是eq\f(1,2)T，其中T为周期.

3.对于y＝tanx不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)内为增函数.

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)余弦函数y＝cosx的对称轴是y轴.()

(2)正切函数y＝tanx在定义域内是增函数.()

(3)已知y＝ksinx＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.()

(4)y＝sin|x|是偶函数.()

答案(1)×(2)×(3)×(4)√

解析(1)余弦函数y＝cosx的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条.

(2)正切函数y＝tanx在每一个区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.

(3)当k0时，ymax＝k＋1；当k0时，ymax＝－k＋1.

2.函数f(x)＝－2taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的定义域是()

A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈R\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,6)))))

B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈R\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(π,12)))))

C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈R\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,6)（k∈Z）))))

D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈R\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠\f(kπ,2)＋\f(π,6)（k∈Z）))))

答案D

解析由2x＋eq\f