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2005年研究生入学试题
线性代数部分
一、填空题
1．设均为3维向量，记三阶矩阵，
，如果，
那么。
2．设行向量，，，线性相关，且，则。
二、选择题
1．设是矩阵A的两个不同特征值，对应的特征向量分别为，则线性无关的充分必要条件是（）。
（A）。（B）。（C）。（D）。
2．设矩阵满足，其中是的伴随矩阵，是的转置矩阵。若为三个相等的正数，则为（）。
（A）。（B）3。（C）。（D）。
3．设A,B,C均为n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，若，则为（）。
（A）。（B）。（C）。（D）。
4．设A为n阶阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵，则（）。
（A）交换A*的第1列与第2列得B*。
（B）交换A*的第1行与第2行得B*。
（C）交换A*的第1列与第2列得。
（Ｄ）交换A*的第1行与第2行得。
三、计算证明题
1．已知二次型的秩是2。
（I）求a的值；
（II）求正交变换，把化成标准形；
（III）求方程的解。
2．已知3阶矩阵A的第一行是不全为零，矩阵
（k为常数），且AB=O，求线性方程组的通解。
3．确定常数a，使向量组，可由向量组，线性表示，但向量组不能由线性表示。
4．已知齐次线性方程组
（I），（II）
同解，求的值。
5．设为正定矩阵，其中A,B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为阶矩阵。（I）计算，其中
（II）利用（I）的结果判断矩阵是否为正定矩阵，并证明你的结
6．设A为三阶矩阵，是线性无关的3维列向量，且满足
，，，
（I）求矩阵B，使得；
（II）求矩阵A的特征值；
（III）求可逆矩阵P，使得为对角阵。
.
答案和提示
一、填空题
1．2。2．。
二、1．B。2．A.3．A。4．Ｃ。
三、1.（I）。（II）当时，取，，，，则Q为正交矩阵。
令，得。
（III）在正交变换下，，化成，得，从而
（其中k为任意常数）
2．当时，取，的通解为
（其中为任意常数）。
当时，若，的通解为，（其中为任意常数）。若，不妨设是的两个线性无关的解，故的通解为（其中为任意常数）。
3.。4.。
5.（I）；（II）矩阵是正定矩阵。
6.(I)。（II）。
（III），
P为所求的可逆矩阵。
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