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勾股定理学案设计

【本讲教育信息】

一.教学内容：

1.掌握勾股定理的逆定理，能够应用此定理判断三角形的形状．

2.能够应用勾股定理的逆定理，进行有关的计算或推理．

3.了解命题的组成，能写出它的逆命题，并能判断逆命题是否正确．

4.了解互逆定理，并能判断一个定理是否一定有逆定理．

二.知识要点：

1.勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形，该定理将数转化为形，能通过计算判断一个三角形是否为直角三角形．

2.勾股定理的逆定理是直角三角形的判定方法之一，利用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：

（1）确定最大边（不妨设为c）；

（2）计算c2与a2＋b2的值，若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）．

3.能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．如：①3、4、5；②6、8、10；③5、12、13；④8、15、17等都是勾股数．

4.如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这两个命题叫做__________，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的__________．

5.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，称这两个定理互为__________．

三.重点难点：

重点是掌握勾股定理逆定理的内容，难点是利用勾股定理逆定理解题．

【典型例题】

例1.如图所示，若在△ABC中，AB＝5cm，BC＝6cm，BC边上的中线AD＝4cm，则∠ADC的度数是多少？

分析：根据AD是BC边上的中线，可得BD＝3cm，又因为AB＝5cm，AD＝4cm，所以有BD2＋AD2＝AB2，因此△ABD是直角三角形，∠ADB＝90°，根据∠ADB与∠ADC是邻补角可得∠ADC＝90°．

解：因为AD为BC边上的中线，

所以BD＝DC＝eq\f(1,2)BC＝3cm．

在△ABD中，

因为AB＝5cm，BD＝3cm，AD＝4cm，

所以BD2＋AD2＝32＋42＝52＝AB2．

所以△ABD为直角三角形，且∠ADB＝90°．

所以∠ADC＝90°．

评析：通过三边的长度关系得到△ABD是直角三角形后，再去探求角的度数．

例2.写出下列命题的逆命题，并判断逆命题是否成立．

（1）对顶角相等；

（2）等腰三角形两腰上的高相等．

分析：交换所给命题的题设和结论，写出逆命题，再加以判断．

解：（1）相等的角是对顶角．不成立．

（2）两边上的高相等的三角形是等腰三角形．成立．

评析：（2）中的逆命题不能写成“两腰上的高相等的三角形是等腰三角形”，因为“等腰三角形”是结论，所以题设中不能出现“腰”．

例3.判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形．其中a＝eq\f(5,4)，b＝1，c＝eq\f(3,4)．

分析：在a、b、c中，a是最长边，看b2＋c2是否等于a2．

解：因为a2＝(eq\f(5,4))2＝eq\f(25,16)，b2＝12＝1，c2＝(eq\f(3,4))2＝eq\f(9,16)，

所以b2＋c2＝eq\f(9,16)＋1＝eq\f(25,16)．即b2＋c2＝a2．

所以由线段a、b、c组成的三角形是直角三角形．

评析：在勾股定理及其逆定理中，式子a2＋b2＝c2表示三角形三边间的关系，其中a、b对应直角边，c对应斜边，而在具体问题中，可能仅有边长而未标明a、b、c，也可能出现c不表示斜边的情况．本题就是一例，其中c＝eq\f(3,4)并不表示斜边．如不认真分析而简单的因为a2＋b2≠c2就判断此三角形不是直角三角形，显然错误．

例4.如图所示，△ABC中，AB＝5，BC＝3，CD⊥AB于D，且CD＝eq\f(12,5)，你能说明△ABC是直角三角形吗？

分析：在Rt△CDB中，已知BC和CD．可求得BD的长，进而可得AD的长．在Rt△CDA中，已知AD和CD，可求得AC的长，再判断△ABC是否为直角三角形．

解：在Rt△CBD中，因为BC＝3，CD＝eq\f(12,5)

所以BD＝．又因为AB＝5，所以AD＝．

在Rt△ADC中，AD＝，CD＝eq\f(12,5)，所以AC＝4．

在△ABC中，AB2＝52＝25，AC2＝42＝16．

BC2＝32＝9，AC2＋BC2＝AB2．

所以△ABC是直角三角形．

例5.如图所示，某工厂A前面有一条笔直的公路，原先有两条路AB、AC可以从工厂A到达公路，经测量AB＝6千米，AC＝8千米，BC＝10千米，现需要修建一条公路，使工厂A到公路的距离最短，请你帮工厂A设计一种方案，并求出公路的