高一下期中重点题型复习-老师版.docxVIP

高一下学期期中考试重点题型复习回顾

目录

TOC\o1-3\h\z\u【题型一】外接球

【题型二】内切球

【题型三】空间中的平行关系

【题型四】几何体计算（多选）

【题型五】线面平行的证明及应用（大题）：平行存在性问题与截面

【题型六】向量范围（极化恒等式，投影法，拆分基底，系数和为1+基本不等式，等和线，隐圆）

【题型七】正弦定理与三角变换综合

【题型八】向量与解三角形综合问题（多选）

【题型九】解三角形的实际应用（解答题）

【外接球】

1、圆锥型（正棱锥）：球心在高上，通过勾股计算即可得出半径

2、补充长方体型：遇到墙角模型和对棱相等结构，补充长方体即可

3、圆台棱台外接球：画图，注意讨论2个平面是否在同一个半球内

4、侧棱垂直底面型（热门模型）：正弦定理+勾股

如图，平面，求外接球半径.（一条侧棱垂直底面）

解题步骤：第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心；

第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得），；

第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：=1\*GB3①；

=2\*GB3②.

5、二面角模型：两条“中垂线”的交点即为球心

题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图)

第一步：先画出如图所示的图形，将画在小圆上，找出和的外心和；

第二步：过和分别作平面和平面的垂线，两垂线的交点即为球心，连接；

第三步：解，算出，在中，勾股定理：

注：易知四点共面且四点共圆，证略.

（圆锥型）已知正三棱锥，各棱长均为，则其外接球的体积为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】抓住正三棱锥的特征，底面是正三角形，边长为，则高线的投影在底面正三角形的重心上，则外接球的球心在高线上，且到各个顶点的距离相等，构造直角三角形，从而即可求出外接球的半径为，进而可求出外接球的体积．

【详解】由是正三棱锥，底面是正三角形，边长为，

则高线的投影在底面正三角形的重心上，则外接球的球心在高线上，且到各个顶点的距离相等，

如图，取的中点，连接，过作平面，且垂足为，则，

由，

则在中，有，

所以，

则在中，有，

设外接球的半径为，

则，即，解得，

故外接球的体积为．

（补充长方体）将边长为的正方形纸片折成一个三棱锥，使三棱锥的四个面刚好可以组成该正方形纸片，若三棱锥的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________

【答案】

【分析】作出三棱锥的直观图，将三棱锥补成长方体，可计算出该三棱锥的外接球的半径，结合球体的表面积公式可求得结果.

【详解】在边长为的正方形中，设、分别为、的中点，

、、分别沿、、折起，

使、、三点重合于点，满足题意，如下图所示：

翻折前，，，

翻折后，则有，，，

将三棱锥补成长方体，

其中，，

设三棱锥的外接球的半径为，则，

，故该三棱锥的外接球的表面积为.

（台体外接球）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．

【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．

??

如图，在正四棱台中，，，该棱台体积，则该棱台外接球的表面积为．

??

【答案】

【分析】作出辅助线，找到球心的位置，求出外接球半径，得到外接球表面积.

【详解】连接，取的中点，连接，

则外接球球心在直线上，设球心为，如图所示，则，

??

则⊥平面，

因为正四棱台中，，，

故，所以，

设四棱台的高为，

故，解得，

故，

设，则，

，

故，解得，

故半径，

故该棱台外接球的表面积为.

（侧棱垂直底面型）已知三棱锥的底面为直角三角形，且.若平面，且，，三棱锥的所有顶点均在球的球面上，记球的体积和表面积分别为，，则（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】依题意外接圆的直径为斜边，设三棱锥外接球的半径为，则，求出外接球的半径，再根据球的体积、表面积公式计算可得.

【详解】因为为直角三角形且，则，

又平面，平面，则，

而平面，于是平面，又平面，

因此，取中点，连接，则，

从而点即为球的球心，设三棱锥外接球的半径为，

则，即，所以，

则.

??????

（侧棱垂直底面型）已知三棱锥所在顶点都在球的球面上，且平面，若，则球的体积为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出外接圆半径，再