微专题13 轻松搞定立体几何的轨迹问题（三大题型）（解析版）.docxVIP

微专题13轻松搞定立体几何的轨迹问题

【题型归纳目录】

题型一：轨迹图形

题型二：轨迹长度

题型三：轨迹面积

【典型例题】

题型一：轨迹图形

【典例1-1】（2024·北京密云·一模）如图，在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且与平面的垂线垂直，则下列说法不正确的是（????）

A．与不可能平行

B．与是异面直线

C．点的轨迹是一条线段

D．三棱锥的体积为定值

【答案】A

【解析】设平面与直线交于，连接，，

则为的中点，分别取，的中点，，

连接，，，

如图.

∵，平面，平面，

∴平面，同理可得平面，

又、是平面内的两条相交直线，

∴平面平面，而平面，∴平面，

得点的轨迹为一条线段，故C正确；

并由此可知，当与重合时，与平行，故A错误；

∵平面平面，和平面相交，∴与是异面直线，故B正确；

∵，则点到平面的距离为定值，∴三棱锥的体积为定值，故D正确．

故选：A．

【典例1-2】（2024·高二·江西·阶段练习）四棱柱的底面为正方形，侧棱与底面垂直，点是侧棱的中点，，若点在侧面(包括其边界)上运动，且总保持，则动点的轨迹是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】利用正方体的性质可得体对角线垂直于平面，进而得出动点的轨迹.正四棱柱截去下半部分，剩余部分为正方体，

如图所示：连接，

由正方体性质易知，平面，

所以，，

因为，所以平面，

所以，同理可得，

因为，

可得平面，

即动点在侧面（包括其边界）上的运动轨迹为线段

故选：D

【变式1-1】（2024·高一·全国·课后作业）在三棱台A1B1C1﹣ABC中，点D在A1B1上，且AA1∥BD，点M是内（含边界）的一个动点，且有平面BDM∥平面A1C，则动点M的轨迹是（????）

A．平面 B．直线

C．线段，但只含1个端点 D．圆

【答案】C

【解析】利用面面平行的判定定理构造平面平面，由此确定点的轨迹.过D作DN∥A1C1，交B1C1于N，连结BN，

由于平面,平面，所以平面.

∵在三棱台A1B1C1﹣ABC中，点D在A1B1上，且AA1∥BD，

且平面,平面，

∴平面.

∵AA1∩A1C1＝A1，BD∩DN＝D，

∴平面BDN∥平面A1C，

∵点M是内（含边界）的一个动点，且有平面BDM∥平面A1C，

∴M的轨迹是线段DN，且M与D不重合，

∴动点M的轨迹是线段，但只含1个端点.

故选：C

【变式1-2】（2024·高一·北京西城·阶段练习）如图，正方体中，为底面上的动点，且于，且，则点的轨迹是（????）

A．线段 B．圆弧

C．抛物线的一部分 D．以上答案都不对

【答案】A

【解析】连接、，如下图所示：

因为平面，平面，，

因为，，，所以，，，

所以，为定点，取线段的中点，连接，

因为，则，所以点在过点且垂直于线段的垂面上，

而此垂面与底面相交于一条线段，故点的轨迹为线段.

故选：A.

【变式1-3】（2024·高一·全国·课后作业）如图所示，四棱锥的底面为正方形，侧面为等边三角形，且侧面底面，点在正方形内运动，且满足，则点在正方形内的轨迹一定是（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】根据题意，可知，则点符合“点在正方形内的一个动点，且满足”，

设的中点为，

因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，

因为平面，所以，

根据题目条件可得，所以和全等，

所以，点也符合“点在正方形内的一个动点，且满足”，

故动点的轨迹肯定过点和点，

而到点到点的距离相等的点为线段的垂直平分面，

线段的垂直平分面与平面的交线是一直线，

所以的轨迹为线段，

故选：B

题型二：轨迹长度

【典例2-1】（2024·四川南充·模拟预测）已知三条射线，，两两所成的角都是60°.点在上，点在内运动，，则点的轨迹长度为

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】如图，

过作平面于，则点在的平分线上，

在平面内，作于，连结，

根据三垂线定理，则

，

，

点的轨迹是以为圆心，6为半径的圆在内的圆弧，

圆弧的长度为：

故选：C

【典例2-2】（2024·高二·安徽宣城·期末）已知正方体的棱长为分别是棱?的中点，点为底面四边形内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为（????）

A．2 B． C． D．

【答案】B

【解析】取的中点，连接，如图所示：

分别是棱?的中点，所以，

又因为平面，平面，所以平面.

因为，，所以四边形为平行四边形，

所以.

又因为平面，平面，所以平面.

因为，所以平面平面.

因为点为底面四边形内（包括边界）的一动点，直线与平面无公共点，

所以的轨迹为线段，则.

故选：B

【变式2-1】（2024·高一·河南周口·期末）如图，在三棱柱中，M为A1C1的中点N为侧面上的一点，且MN//平面，若点N的轨迹长度为2，则（????）

??

A