中考数学模拟题分类汇编第一期专题22等腰三角形试题含解析20240125381.doc

PAGE

PAGE24

等腰三角形

一选择题

1（2024?山东枣庄?3分）如图是由8个全等的矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上，如果点P是某个小矩形的顶点，连接PAPB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是（）

A2个 B3个 C4个 D5个

【分析】根据等腰直角三角形的判定即可得到结论

【解答】解：如图所示，使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是3，

故选：B

【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定，正确的找出符合条件的点P是解题的关键

2（2024?山东枣庄?3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F若AC=3，AB=5，则CE的长为（）

A B C D

【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案

【解答】解：过点F作FG⊥AB于点G，

∵∠ACB=90°，CD⊥AB，

∴∠CDA=90°，

∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，

∵AF平分∠CAB，

∴∠CAF=∠FAD，

∴∠CFA=∠AED=∠CEF，

∴CE=CF，

∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°，

∴FC=FG，

∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°，

∴△BFG∽△BAC，

∴=，

∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°，

∴BC=4，

∴=，

∵FC=FG，

∴=，

解得：FC=，

即CE的长为

故选：A

【点评】本题考查了直角三角形性质等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及相似三角形的判定与性质等知识，关键是推出∠CEF=∠CFE

3（2024?山东淄博?4分）如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为（）

A B C D

【考点】R2：旋转的性质；KK：等边三角形的性质；KS：勾股定理的逆定理

【分析】将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，根据旋转的性质得BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，则△BPE为等边三角形，得到PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，延长BP，作AF⊥BP于点FAP=3，PE=4，根据勾股定理的逆定理可得到△APE为直角三角形，且∠APE=90°，即可得到∠APB的度数，在直角△APF中利用三角函数求得AF和PF的长，则在直角△ABF中利用勾股定理求得AB的长，进而求得三角形ABC的面积

【解答】解：∵△ABC为等边三角形，

∴BA=BC，

可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连EP，且延长BP，作AF⊥BP于点F如图，

∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，

∴△BPE为等边三角形，

∴PE=PB=4，∠BPE=60°，

在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，

∴AE2=PE2+PA2，

∴△APE为直角三角形，且∠APE=90°，

∴∠APB=90°+60°=150°

∴∠APF=30°，

∴在直角△APF中，AF=AP=，PF=AP=

∴在直角△ABF中，AB2=BF2+AF2=（4+）2+（）2=25+12

则△ABC的面积是?AB2=?（25+12）=

故选：A

【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质勾股定理的逆定理以及旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等

4（2024?江苏扬州?3分）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧做等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BEAE分别交于点P，M对于下列结论：

①△BAE∽△CAD；②MP?MD=MA?ME；③2CB2=CP?CM其中正确的是（）

A①②③ B① C①② D②③

【分析】（1）由等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE三边份数关系可证；

（2）通过等积式倒推可知，证明△PAM∽△EMD即可；

（3）2CB2转化为AC2，证明△ACP∽△MCA，问题可证

【解答】解：由已知：AC=AB，AD=AE

∴

∵∠BAC=∠EAD

∴∠BAE=∠CAD

∴△BAE∽△CAD

所以①正确

∵△BAE∽△CAD

∴∠BEA=∠CDA

∵∠PME=∠AMD

∴△PME∽△AMD

∴

∴MP?MD=MA?ME

所以②正确

∵∠BEA=∠CDA

∠PME=∠AMD

∴PEDA四点共圆

∴∠APD=∠EAD=90°

∵∠CAE=180°﹣∠BAC﹣∠EAD=90°

∴△CAP∽△CMA

∴AC2=CP?CM

∵AC=AB

∴2CB2=CP?CM

所以③正确

故选