微专题11 立体几何中的截面问题（六大题型）（解析版）.docxVIP

微专题11立体几何中的截面问题

【题型归纳目录】

题型一：判断截面形状

题型二：截面周长

题型三：截面面积

题型四：截面作图

题型五：截面切割几何体的体积问题

题型六：截面图形有关面积、长度及周长范围与最值问题

【方法技巧与总结】

1、突破思维定式，灵活分析问题

解答高中数学立体几何截面问题要突破思维定式，多视角地进行观察、分析、对比，深人地理解截面对原立体几何图形体积造成的影响，避免掉进出题人设计的陷阱之中．

2、注重应用经验，快速破解问题

解答高中数学立体几何截面问题时应注重具体问题具体分析，尤其遇到似曾相识的问题时应注重联系已有的解题经验，应用所学的几何知识找到参数之间的内在关系，构建正确的数学方程，快速破解问题．

3、借助几何模型，化陌生为熟悉

在解答一些高中数学立体几何截面问题时，应用几何模型化陌生为熟悉，可大大降低解题难度，提高解题效率．解题时应认真审题，充分挖掘隐含条件，将陌生图形融人熟悉的情境中，以更好地找到解题思路，达到事半功倍的解题效果．

【典型例题】

题型一：判断截面形状

【典例1-1】（2024·高一·重庆渝中·期末）过正三棱柱底面一边和两底中心连线的中点作截面，则这个截面的形状是（????）

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰梯形 D．平行四边形

【答案】C

【解析】如图，过和中点作截面，分别是中点，，直线是截面与平面的交线，在平面中延长与相交于点，由于，∴，而，因此在的延长线上，连接交于，连接交于，连接，四边形为截面．由正三棱柱的性质可得，，四边形是等腰梯形．

故选：C．

【典例1-2】（2024·高一·福建·阶段练习）用一个平面去截一个四棱锥，截面形状不可能的是(??)

A．四边形 B．三角形 C．五边形 D．六边形

【答案】D

【解析】根据一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，而四棱锥最多只有5个面，则截面形状不可能的是六边形，故选D.

【变式1-1】（2024·全国·模拟预测）已知正方体中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，则平面AEF截正方体形成的截面图形为（????）

A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形

【答案】C

【解析】如图，设，分别延长交于点，此时，

连接交于，连接，

设平面与平面的交线为，则，

因为平面平面，平面平面，平面平面，

所以，设，则，

此时，故，连接，

所以五边形为所求截面图形，

故选：C．

题型二：截面周长

【典例2-1】（2024·高二·上海普陀·期中）如图，在棱长为的正方体中，点分别是棱的中点，则由点确定的平面截正方体所得的截面多边形的周长等于.

【答案】6

【解析】作（实际上）交于，延长交延长线于．连接交于点，可证分别是的中点，同理取中点，连接，六边形即为截面，该六边形为正六边形，由正方体棱长为易得正六边形边长为1，周长为6.

故答案为：6.

【典例2-2】（2024·高三·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，在正方体中，，为棱的中点，为棱的四等分点（靠近点），过点作该正方体的截面，则该截面的周长是.

【答案】

【解析】如图，取的中点，取上靠近点的三等分点，

连接，易证，则五边形为所求截面.

因为，所以，

则，

故该截面的周长是.

故答案为：.

【变式2-1】（2024·高三·四川成都·开学考试）如图，正方体的棱长为4，E是侧棱的中点，则平面截正方体所得的截面图形的周长是．

??

【答案】

【解析】取中点，连接，,

∵中点为，E是侧棱的中点，

∴,,

又在直角三角形中,

∴,

∵正方体中，

∴四边形为平行四边形,

∴

∴,

四点共面，即为正方体的截面.

在直角三角形中,

同理,则截面周长为.

故答案为:.

【变式2-2】（2024·高一·辽宁大连·阶段练习）如图，正方体的棱长为6，为的中点，为的中点，过点的平面截正方体所得的截面周长为．

??

【答案】/

【解析】如图所示，延长交于点，延长交于点，

连接交与点，连接交于点，分别连接，

则过点的平面截正方体所得的截面为五边形，

因为正方体的棱长，且为的中点，为的中点，

可得，所以,

在直角中，可得，

在直角中，可得，

在直角中，可得，

在直角中，可得，

在直角中，可得，

所以截面的周长为.

故答案为：.

题型三：截面面积

【典例3-1】（2024·高一·广东清远·期末）在数学探究活动课中，小华进行了如下探究:如图，这是注入了一定量水的正方体密闭容器，现将该正方体容器的一个顶点A固定在地面上，使得AD，AB，AA1三条棱与水平面所成角均相等，此时水平面恰好经过BB1的中点，若AB=1，则该水平面截正方体ABCD-A1B1C1D1所得截面的面积为.

??

【答案】/

【解析】在正方体AB