微专题12 轻松解决空间几何体的体积问题（四大题型）（解析版）.docxVIP

微专题12轻松解决空间几何体的体积问题

【题型归纳目录】

题型一：直接法

题型二：割补法

题型三：换底法

题型四：祖暅原理

【典型例题】

题型一：直接法

【典例1-1】（2024·高一·重庆·阶段练习）已知如图所示，是正方形外一点，平面为中点，.

(1)求证：平面；

(2)三棱锥的体积.

【解析】（1）

连接，交于点，连接，如图，

正方形中，是中点，是中点，

，

平面平面，

平面；

（2）平面为中点，，

到平面的距离，

三棱锥的体积.

【典例1-2】（2024·高二·山东·学业考试）如图，在四棱柱中，底面为矩形，侧面为菱形，平面平面，．

(1)求证：平面；

(2)求四棱柱的体积．

【解析】（1）

在四棱柱中，，，

所以，所以四边形为平行四边形，

所以，又平面平面，

所以平面．

（2）

取中点为，连结．

在四棱柱中，，

因为四边形为菱形，所以，

又因为，所以为等边三角形，所以．

又因为平面平面，平面平面，平面，

所以平面，

所以四棱柱的高．

因为底面为矩形，，

所以四棱柱的底面积为，

故四棱柱的体积为．

【变式1-1】（2024·高一·陕西咸阳·阶段练习）如图，在棱长均为6的三棱柱中，D、分别是BC和的中点．

??

(1)求证：平面；

(2)若平面平面，，求三棱锥的体积．

【解析】（1）证明：连接，

在三棱柱中，

D、分别是BC和的中点，，且，

又，，，，

四边形为平行四边形，

，

又平面ABD，平面，

故平面．

（2）在三棱柱中，棱长均为6，则，

D为BC的中点，，

平面平面，交线为BC，平面ABC，

平面，即AD是三棱锥的高，

在中，，得，

在中，，，

为等边三角形．

的面积为，

．

题型二：割补法

【典例2-1】（2024·四川南充·二模）已知多面体中，，且，，.

??

(1)证明：；

(2)若，求多面体的体积.

【解析】（1）连接BD，DF，如图所示

在中，，，，

则，

所以，即，

同时，可得，

同理可得，

又平面BDF，平面BDF，，所以平面BDF；

又因为平面BDF，所以．

（2）由（1）知，又，则，

作于点，则,解得.

又平面BDF，，所以平面BDF，

又平面BDF，所以，

又，平面，所以平面，

多面体三棱锥四棱锥

矩形.

【典例2-2】（2024·全国·高三专题练习）在多面体中，四边形为矩形，O，M分别为，BC的中点，，，，，．

(1)求多面体的体积；

(2)求三棱锥的体积．

【解析】（1）将多面体补形得到直三棱柱，如图①，

因为，即S为的中点，所以，

又，故多面体的体积为．

（2）如图②，将多面体补形为长方体，连接，则，

易知，又点O到平面MDC的距离为，

所以．

【变式2-1】（2024·广东东莞·高一校考阶段练习）如图，在棱长为的正方体中，截去三棱锥，求

（1）截去的三棱锥的表面积；

（2）剩余的几何体的体积.

【解析】（1）由正方体的特点可知三棱锥中，是边长为的等边三角形，、、都是直角边为的等腰直角三角形，

所以截去的三棱锥的表面积

（2）正方体的体积为，

三棱锥的体积为，

所以剩余的几何体的体积为.

【变式2-2】（2024·辽宁沈阳·高二学业考试）过棱长为2的正方体的三个顶点作一截面，此截面恰好切去一个三棱锥，则该正方体剩余几何体的体积为（????）

A．4 B．6 C． D．

【答案】C

【解析】截去的三棱锥的底面是直角边为2的等腰直角三角形，高为2，

三棱锥的体积为

正方体的体积为，

则该正方体剩余几何体的体积为

故选：C

题型三：换底法

【典例3-1】（2024·全国·模拟预测）如图，在三棱锥中，△是边长为的正三角形，，．

(1)求证：平面平面BCD；

(2)若点E在棱BC上，且，求三棱锥的体积．

【解析】（1）如图，过点A作BD的垂线，垂足为O，

设，则，

因为，所以，

解得，则，，，

因为，，，所以，

连接OC，则，，

所以，所以，

因为平面，平面，且，

所以平面，

又因为平面，所以平面平面．

（2）设，则，

因为，，，所以，

即，解得，所以，

由（1）知，平面ABD，

所以．

【典例3-2】（2024·高二·黑龙江大庆·开学考试）在边长为a的正方形中，E，F分别为，的中点，M、N分别为、的中点，现沿、、折叠，使B、C、D三点重合，构成一个三棱锥，如图所示．

??

(1)在三棱锥中，求证：；

(2)求四棱锥的体积．

【解析】（1）在三棱锥中，

因为，，，面,

所以面．又平面，

所以；

（2）因为在中，M、N分别为、的中点，

所以四边形的面积是面积的．

又三棱锥与四棱锥的高相等，

所以，四棱锥的体积是三棱锥的体积的，

因为，所以．

因为．

所以，

故四棱锥的体积为．

【变式3-1】（2024·高二·上海闵行·阶段练习）已知四边形为直角梯形，，，为等腰直角三角形，平面⊥平