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§4.3.1齐次线性方程组的解

回顾：线性方程组的解的判定

1.包含n个未知数的齐次线性方程组Ax=0有非零解的充

分必要条件是系数矩阵的秩R(A)n．

2.包含n个未知数的非齐次线性方程组Ax=b有解的充分

必要条件是系数矩阵的秩R(A)=R(A,b)，并且

当R(A)=R(A,b)=n时，方程组有唯一解；

当R(A)=R(A,b)n时，方程组有无限多个解．

引言

问题：什么是线性方程组的解的结构？

答：所谓线性方程组的解的结构，就是当线性方程组有无限

多个解时，解与解之间的相互关系．

备注：

⚫当方程组存在唯一解或无解时，无须讨论解的结构．

⚫下面的讨论都是假设线性方程组有无限多个解．

一、解向量的定义

定义1设有齐次线性方程组Ax=0，如果

x1=x11，x2=x21，...，xn=xn1

为该方程组的解，则

x11



xx21





xn1

称为方程组的解向量．

二、齐次线性方程组的解的性质

性质1：若x=x，x=x是齐次线性方程组Ax=0的解，

12

则x=x1+x2还是Ax=0的解．

证明：A(x+x)=Ax+Ax=0+0=0．

1212

性质2：若x=x1是齐次线性方程组Ax=0的解，k为实数，

则x=kx1还是Ax=0的解．

证明：A(kx)=k(Ax)=k0=0．

11

结论：若x=x,x=x,...,x=x是齐次线性方程组Ax=0

12t

的解，则x=kx+kx+…+kx还是Ax=0的解.

1122tt

结论：若x=x,x=x,...,x=x是齐次线性方程组Ax=0

12t

的解，则x=kx+kx+…+kx还是Ax=0的解.

1122tt

已知齐次方程组Ax=0的几个解向量，可以通过这些解

向量的线性组合给出更多的解．

能否通过有限个解向量的线性组合把Ax=0的解全部表

示出来？

把Ax=0的全体解组成的集合记作S，若求得S的一个

最大无关组S