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回忆
定义齐次线性方程组Ax=0的一组解向量x,x,…,x
12r
如果满足
①x,x,…,x线性无关；
12r
②方程组中任意一个解都可以表示x,x,…,x的线性组合，
12r
那么称这组解是齐次线性方程组的一个基础解系．
§4.3.2非齐次线性方程组的解
一、非齐次线性方程组解的性质
性质1：若x=x，x=x是非齐次线性方程组Ax=b的解，则x=x−x
1212
是对应的齐次线性方程组Ax=0（导出组）的解．
证明：A(x−x)=Ax−Ax=b−b=0．
1212
性质2：若x=是非齐次线性方程组Ax=b的解，x=x是导出组Ax=0
的解，则x=x+还是Ax=b的解．
证明：A(x+)=Ax+A=0+b=b．
二、非齐次线性方程组解的结构
根据性质1和性质2可知
◼若x=*是Ax=b的解，x=x是Ax=0的解，那么
x=x+*也是Ax=b的解．
◼设Ax=0的通解为x=cx+cx+…+cx．
1122n-rn-r
于是Ax=b的通解为
=cx+cx+…+cx+*
1122n-rn-r
由上述讨论知,非齐次线性方程组的解等于它所对
应的齐次线性方程组的通解加上它的一个特解.
例1设有非齐次线性方程组
x1+x2+2x3+x4+2x57,
x1+2x2+3x3+4x4+5x515,
2x1+3x2+5x3+5x4+7x522,
求该方程组的通解.
解用初等行变换将增广矩阵B化为行最简形矩阵,
112127101−2−1−1
r
B1234515~011338
2355722000000
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