中考数学模拟题分类汇编第二期专题28解直角三角形试题含解析202401253118.doc

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解直角三角形

一选择题

1（2024?江苏苏州?3分）如图，某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长）为（）

A40海里 B60海里 C20海里 D40海里

【分析】首先证明PB=BC，推出∠C=30°，可得PC=2PA，求出PA即可解决问题；

【解答】解：在Rt△PAB中，∵∠APB=30°，∴PB=2AB，

由题意BC=2AB，∴PB=BC，∴∠C=∠CPB，

∵∠ABP=∠C+∠CPB=60°，∴∠C=30°，∴PC=2PA，

∵PA=AB?tan60°，∴PC=2×20×=40（海里），

故选：D

【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，解题的关键是证明PB=BC，推出∠C=30°

2（2024?江苏无锡?3分）如图，已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点，正方形EFGH的顶点GH都在边AD上，若AB=3，BC=4，则tan∠AFE的值（）

A等于 B等于

C等于 D随点E位置的变化而变化

【分析】根据题意推知EF∥AD，由该平行线的性质推知△AEH∽△ACD，结合该相似三角形的对应边成比例和锐角三角函数的定义解答

【解答】解：∵EF∥AD，∴∠AFE=∠FAG，∴△AEH∽△ACD，∴==

设EH=3x，AH=4x，∴HG=GF=3x，

∴tan∠AFE=tan∠FAG===

故选：A

【点评】考查了正方形的性质，矩形的性质以及解直角三角形，此题将求∠AFE的正切值转化为求∠FAG的正切值来解答的

3（2024·黑龙江哈尔滨·3分）如图，在菱形ABCD中，对角线ACBD相交于点O，BD=8，tan∠ABD=，则线段AB的长为（）

A B2 C5 D10

【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，求出OB，解直角三角形求出AO，根据勾股定理求出AB即可

【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，

∴∠AOB=90°，

∵BD=8，

∴OB=4，

∵tan∠ABD==，

∴AO=3，

在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB===5，

故选：C

【点评】本题考查了菱形的性质勾股定理和解直角三角形，能熟记菱形的性质是解此题的关键

4（2024?贵州贵阳?3分）如图，ABC是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan?BAC的值为（B）

（A）1 （B）1 （C）

2

3 （D）3

3

【解】图解

2

二填空题

1（2024?江苏无锡?2分）已知△ABC中，AB=10，AC=2，∠B=30°，则△ABC的面积等于15或10

【分析】作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，分ABAC位于AD异侧和同侧两种情况，先在Rt△ABD中求得ADBD的值，再在Rt△ACD中利用勾股定理求得CD的长，继而就两种情况分别求出BC的长，根据三角形的面积公式求解可得

【解答】解：作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，

①如图1，当ABAC位于AD异侧时，

在Rt△ABD中，∵∠B=30°，AB=10，

∴AD=ABsinB=5，BD=ABcosB=5，

在Rt△ACD中，∵AC=2，

∴CD===，

则BC=BD+CD=6，

∴S△ABC=?BC?AD=×6×5=15；

②如图2，当ABAC在AD的同侧时，

由①知，BD=5，CD=，

则BC=BD﹣CD=4，

∴S△ABC=?BC?AD=×4×5=10

综上，△ABC的面积是15或10，

故答案为15或10

【点评】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的运用分类讨论思想的运算及勾股定理

2（2024?江苏苏州?3分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2，BC=将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ABC′，连接BC，则sin∠ACB′=

【分析】根据勾股定理求出AC，过C作CM⊥AB′于M，过A作AN⊥CB′于N，求出B′MCM，根据勾股定理求出B′C，根据三角形面积公式求出AN，解直角三角形求出即可

【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC==5，

过C作CM⊥AB′于M，过A作AN⊥CB′于N，

∵根据旋转得出AB′=AB=2，∠B′AB=90°，即∠CMA=∠MAB=∠B=90°，

∴CM=AB=2，AM=BC=，∴B′M=2﹣=，

在Rt△B′MC中，由勾股定理得：B′C===5，

∴S△AB′C==，∴5×AN=2×2，解得：AN=4，

∴sin∠ACB′==，

故答案为：

【点评】本