微专题03 妙用奔驰定理解决三角形面积比问题（四大题型）（解析版）.docxVIP

微专题03妙用奔驰定理解决三角形面积比问题

【题型归纳目录】

题型一：直接使用奔驰定理

题型二：利用奔驰定理解决四心问题

题型三：利用奔驰定理解决三角形面积比问题（1个奔驰中心点）

题型四：利用奔驰定理解决三角形面积比问题（多个奔驰中心点）

【方法技巧与总结】

奔驰定理---解决面积比例问题

重心定理：三角形三条中线的交点.

已知的顶点，，，则△ABC的重心坐标为.

注意：（1）在中，若为重心，则．

（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1，且分的三个三角形面积相等．

重心的向量表示：．

奔驰定理：，则、、的面积之比等于

奔驰定理证明：如图，令，即满足

，，，故.

【典型例题】

题型一：直接使用奔驰定理

【例1】（2024·河南安阳·高一统考期末）已知是内的一点，若的面积分别记为，则.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】是的垂心，延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，如图，

则，，

因此，，同理，

于是得，

又，即，由“奔驰定理”有，

则，而与不共线，有，，即，

所以.

故选：A

【变式1-1】（2024·重庆·高一校联考期末）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则(????)

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】∵是的垂心，延长交与点，

∴

，

同理可得，∴：，

又，

∴，

又，

∴，

不妨设，其中，

∵，

∴，解得或，

当时，此时，则都是钝角，则，矛盾.

故，则，∴是锐角，，

于是，解得.

故选：A.

【变式1-2】（多选题）（2024·高一单元测试）如图，为内任意一点，角的对边分别为，则总有优美等式成立,此结论称为三角形中的奔驰定理.由此判断以下命题中，正确的有（????）

A．若是的重心，则有

B．若，则是的内心

C．若，则

D．若是的外心，且，则

【答案】ABD

【解析】对于A，是的重心，则,

代入就得到,正确；

对于B，设点P到边的距离分别为，

由得，，即，与已知条件比较知，，则是的内心，正确；

对于，即，

与比较得到，，错误；

对于D，是的外心，且，则，设三角形外接圆半径为R，

所以，

代入奔驰定理即可得到，正确，

故选：ABD.

题型二：利用奔驰定理解决四心问题

【例2】（2024·甘肃兰州·高一兰州市第二中学校考期末）在面上有及内一点满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为，，，现有，则为的心.

【答案】内

【解析】，，

，

，

，分别是，方向上的单位向量，

向量平分，即平分，同理平分，

为的内心，

故答案为：内

【变式2-1】（2024·福建厦门·高一厦门双十中学校考阶段练习）在平面上有及内一点O满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为a，b，c，现有则O为的（????）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

【答案】B

【解析】记点O到AB、BC、CA的距离分别为，，，，因为，则，即，又因为，所以，所以点P是△ABC的内心.

故选：B

【变式2-2】（2024·湖南邵阳·高一统考期末）奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则必有（????）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】如图，因为，

所以，同理，，

所以为的垂心。

因为四边形的对角互补，所以，

．

同理，，

，

．

，

．

又

．

由奔驰定理得.

故选C．

题型三：利用奔驰定理解决三角形面积比问题（1个奔驰中心点）

【例3】（2024·陕西安康·统考一模）已知O是内一点，，若与的面积之比为，则实数m的值为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由得，

设，则.

由于，所以A，B，D三点共线，如图所示，

∵与反向共线，，∴，∴，

∴.

故选：D

【变式3-1】（2024·河南郑州·高一郑州外国语中学校考阶段练习）为等边三角形内一点，且满足，若与的面积之比为，则实数的值为（????）

A． B．1 C．2 D．3

【答案】A

【解析】取AC边中点为E，BC中点为F，连接EF，作图如下：

，整理得

即：，故O点在中位线EF上.

因为与的面积之比为，

可得与的面积之比为，

因为这两个三角形等高，故面积比为底边长度之比，

即：，

故点O是EF上靠近E点的三等分点，

显然此时：.

故选：A.