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专题1-5解三角形综合17类题型(中间线,范围,复合图形)
TOC\o1-3\n\h\z\u知识点梳理
题型一角平分线相关计算求值
题型二中线及等分线相关计算求值
题型三高线的处理与应用
题型四其它中间线问题
题型五二倍角的处理
题型六复合图形计算求值问题
题型七解三角形中的范围问题1:面积型(基础型)
题型八解三角形中的范围问题2:周长型(基础型)
题型九解三角形中的范围问题3:锐(钝)角限制型
题型十解三角形中的范围问题4:中线或等分线型
题型十一解三角形中的范围问题5:角平分线型
题型十二解三角形中的范围问题6:高线型(定角定高)
题型十三解三角形中的范围问题7:角非对边型
题型十四解三角形中的范围问题8:齐次式比值型
题型十五解三角形中的范围问题9:其它中间线模型相关最值问题
题型十六解三角形中的范围问题:求角的最值
题型十七解三角形中的范围问题:四边形中的最值
知识点梳理
中间线的处理通用策略:用2次余弦定理,邻补角余弦值为相反数,即
一、中线或比例端点的处理策略:
如图,△ABC中,AD为BC的中线,已知AB,AC,及∠A,求中线AD长.
策略一:如图,倍长中线构造全等,再用余弦定理即可
策略二:向量法,,等式两边再进行平方
策略三:两次余弦定理,邻补角余弦值为相反数,即
补充:若或将条件“AD为BC的中线”换为“”也适用,此时需要倍长等分线构造相似
二、高线问题的处理策略:
策略一:等面积法:
策略二:若已知B,C两角的三角函数值,可以考虑作高线AD,得出两个小三角形的三边之比
策略三:(射影定理)
策略四:
三、角平分线问题的处理策略:
△ABC中,AD平分∠BAC.
策略一:角平分线定理:
证法1(等面积法),得
注:为A到BC的距离,为D到AB,AC的距离.
证法2(正弦定理)
如图,,,而
整理得
策略二:利用两个小三角形面积和等于大三角形面积处理
S?
策略三:角互补:
∠ABD+∠
在△ABD中,cos∠ABD
四、角对边型周长与面积最值问题的几种解法
例1:△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且A=.
若a=2,求△ABC的周长最大值及取值范围
【答案】6,(2020全国2卷)
法一:构造函数模型
∵,∴周长的范围是
法二:不等式
由余弦定理可得:
整理得:,当且仅当b=c时取等号.
∴
法三:几何法(圆)
如图,延长BA至E,使AE=AC,则∠E=30°,
作等边三角形OBC,以OC为半径作圆,显然E点在优弧BC上
AB+AC=BE,当BE过圆心O时取到最大值,∴2≤BE≤4
若a=2,求△ABC的面积最大值及取值范围
【答案】(2013全国1卷2014全国2卷)
法一:构造函数模型(降幂)
∵,∴,∴面积的范围是
法二:均值不等式
由余弦定理可得:
整理得:,当且仅当b=c时取等号.∴
法三:几何法(圆)
如图,构造⊙O,显然点A在优弧BC上运动,
当A在弦BC中垂线上时,△ABC面积有最大值
∴△ABC的面积取值范围是
若△ABC为锐角三角形,且a=2,求△ABC的周长和面积的最大值及取值范围
【答案】周长,面积
五、角非对边型周长与面积最值问题
例2:锐角△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且A=.
若c=1,求△ABC面积的取值范围
【答案】2019高考全国3卷
法一:求b的取值范围
,
∵△△ABC为锐角三角形∴∴
法二:构造三角函数模型
(注:若c=m,则有)
∵∴
若c=1,求△ABC周长的取值范围
六、最值范围问题常见处理方法
1、利用基本不等式或常用不等式求最值:化角为边
余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体,一般可先由余弦定理得到等式,再由基本
不等式求最值或范围,但是要注意“一正二定三相等”,尤其是取得最值的条件。
2、转为三角函数求最值:化边为角
如果所求整体结构不对称,或者角度有更细致的要求,用余弦定理和基本不等式难以解决,这时候可以转化为角的关系,消元后使得式子里只有一个角,变为三角函数最值问题进行解决。要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边
二、边化角与角化边的变换原则
在解三角形的问题中,若已知条件同时含有边和角,但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案,要选择“边化角”或“角化边”,变换原则如下:
(1)若式子中含有正弦的齐次式,优先考虑正弦定理“角化边”;
(2)若式子中含有a、b、c的齐次式,优先考虑正弦定理“边化角”;
(3)若式子中含有余弦的齐次式,优先考虑余弦定理“角化边”;
(
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