中考数学模拟题分类汇编第三期专题27锐角三角函数与特殊角试题含解析20240124390.doc

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锐角三角函数与特殊角

一选择题

1（2024·云南省·4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，则∠A的正切值为（）

A3 B C D

【分析】根据锐角三角函数的定义求出即可

【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，

∴∠A的正切值为==3，

故选：A

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义的内容是解此题的关键

2（2024?陕西?3分）如图，在△ABC中，AC＝8，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为

AB2CD3

【答案】C

【解析】【分析】由已知可知△ADC是等腰直角三角形，根据斜边AC=8可得AD=4，在Rt△ABD中，由∠B=60°，可得BD==，再由BE平分∠ABC，可得∠EBD=30°，从而可求得DE长，再根据AE=AD-DE即可

【详解】∵AD⊥BC，

∴△ADC是直角三角形，

∵∠C=45°，

∴∠DAC=45°，

∴AD=DC，

∵AC=8，

∴AD=4，

在Rt△ABD中，∠B=60°，∴BD===，

∵BE平分∠ABC，∴∠EBD=30°，

∴DE=BD?tan30°==，

∴AE=AD-DE=，

故选C

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形中边角之间的关系是解题的关键

二填空题

1（2024·辽宁省阜新市）如图，在点B处测得塔顶A的仰角为30°，点B到塔底C的水平距离BC是30m，那么塔AC的高度为10m（结果保留根号）

【解答】解：∵在点B处测得塔顶A的仰角为30°，∴∠B=30°

∵BC=30m，∴AC=m

故答案为：10

2（2024?莱芜?4分）计算：（π﹣314）0+2cos60°=2

【分析】原式利用零指数幂法则，特殊角的三角函数值计算即可求出值

【解答】解：原式=1+2×=1+1=2，

故答案为：2

【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键

三解答题

1（2024·湖北荆州·10分）问题：已知αβ均为锐角，tanα=，tanβ=，求α+β的度数

探究：（1）用6个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为1），请借助这个网格图求出α+β的度数；

延伸：（2）设经过图中MPH三点的圆弧与AH交于R，求的弧长

【解答】解：（1）连结AMMH，则∠MHP=∠α

∵AD=MC，∠D=∠C，MD=HC，

∴△ADM≌△MCH

∴AM=MH，∠DAM=∠HMC

∵∠AMD+∠DAM=90°，

∴∠AMD+∠HMC=90°，

∴∠AMH=90°，

∴∠MHA=45°，即α+β=45°

（2）由勾股定理可知MH==

∵∠MHR=45°，

∴==

2（2024·辽宁省阜新市）（1）计算：（）﹣2+﹣2cos45°；

【解答】解：（1）原式=4+3﹣2×

=4+3﹣

=4+2

3（2024?广安?9分）如图，已知AB是⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为D

（1）求证：∠PCA=∠ABC

（2）过点A作AE∥PC交⊙O于点E，交CD于点F，连接BE，若cos∠P=，CF=10，求BE的长

【分析】（1）连接半径OC，根据切线的性质得：OC⊥PC，由圆周角定理得：∠ACB=90°，所以∠PCA=∠OCB，再由同圆的半径相等可得：∠OCB=∠ABC，从而得结论；

（2）本题介绍两种解法：

方法一：先证明∠CAF=∠ACF，则AF=CF=10，根据cos∠P=cos∠FAD=，可得AD=8，FD=6，得CD=CF+FD=16，设OC=r，OD=r﹣8，根据勾股定理列方程可得r的值，再由三角函数cos∠EAB=，可得AE的长，从而计算BE的长；

方法二：根据平行线的性质得：OC⊥AE，∠P=∠EAO，由垂直的定义得：∠OCD=∠EAO=∠P，同理利用三角函数求得：CH=8，并设AO=5x，AH=4x，表示OH=3x，OC=3x﹣8，由OC=OA列式可得x的值，最后同理得结论

【解答】证明：（1）连接OC，交AE于H，

∵PC是⊙O的切线，

∴OC⊥PC，

∴∠PCO=90°，

∴∠PCA+∠ACO=90°，（1分）

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，（2分）

∴∠ACO+∠OCB=90°，

∴∠PCA=∠OCB，（3分）

∵OC=OB，

∴∠OCB=∠ABC，

∴∠PCA=∠ABC；（4分）

（2）方法一：∵AE∥PC，

∴∠CAF=∠PCA，

∵AB⊥CG，

∴，

∴∠ACF=∠ABC，（5分）

∵∠ABC=∠PCA，

∴∠CAF=∠ACF，

∴AF=CF=10，（6分）

∵AE∥PC，

∴∠P=