中考数学模拟题分类汇编第二期专题23直角三角形与勾股定理试题含解析202401253123.doc

PAGE

PAGE1

直角三角形与勾股定理

一选择题

1（2024?江苏淮安?3分）如图，菱形ABCD的对角线ACBD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（）

A20 B24 C40 D48

【分析】由菱形对角线的性质，相互垂直平分即可得出菱形的边长，菱形四边相等即可得出周长

【解答】解：由菱形对角线性质知，AO=AC=3，BO=BD=4，且AO⊥BO，

则AB==5，故这个菱形的周长L=4AB=20

故选：A

【点评】本题考查了菱形面积的计算，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算AB的长是解题的关键，难度一般

2（2024?山东东营市?3分）如图所示，圆柱的高AB=3，底面直径BC=3，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是（）

A B C D

【分析】要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解

【解答】解：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点AC的最短距离为线段AC的长

在Rt△ADC中，∠ADC=90°，CD=AB=3，AD为底面半圆弧长，AD=15π，

所以AC=，

故选：C

【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答

3(2024?湖州?3分）如图，已知在△ABC中，∠BAC＞90°，点D为BC的中点，点E在AC上，将△CDE沿DE折叠，使得点C恰好落在BA的延长线上的点F处，连结AD，则下列结论不一定正确的是（）

AAE=EFBAB=2DE

C△ADF和△ADE的面积相等D△ADE和△FDE的面积相等

【答案】C

【解析】分析：先判断出△BFC是直角三角形，再利用三角形的外角判断出A正确，进而判断出AE=CE，得出CE是△ABC的中位线判断出B正确，利用等式的性质判断出D正确

详解：如图，连接CF，

∵点D是BC中点，

∴BD=CD，

由折叠知，∠ACB=∠DFE，CD=DF，

∴BD=CD=DF，

∴△BFC是直角三角形，

∴∠BFC=90°，

∴∠B=∠BFD，

∴∠EAF=∠B+∠ACB=∠BFD+∠DFE=∠AFE，

∴AE=EF，故A正确，

由折叠知，EF=CE，

∴AE=CE，

∵BD=CD，

∴DE是△ABC的中位线，

∴AB=2DE，故B正确，

∵BD=DF，

∵AE=CE，

∴S△ADE=S△CDE，

由折叠知，△CDE≌△△FDE，

∴S△CDE=S△FDE，

∴S△ADE=S△FDE，故D正确，

∴C选项不正确，

故选：C

点睛：此题主要考查了折叠的性质，直角三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，作出辅助线是解本题的关键

4（2024?广西北海?3分）如图，矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C

落在点E处，PEDE分别交AB于点OF，且OP＝OF，则cos∠ADF的值为

11 13 15 17

ABCD13 15 17 19

A

B

C

D

【答案】C

【考点】折叠问题：勾股定理列方程，解三角形，三角函数值

【解析】

由题意得：Rt△DCP≌Rt△DEP，所以DC＝DE＝4，CP＝EP

在Rt△OEF和Rt△OBP中，∠EOF＝∠BOP，∠B＝∠E，OP＝OF

Rt△OEF≌Rt△OBP(AAS)，所以OE＝OB，EF＝BP

设EF为x，则BP＝x，DF＝DE－EF＝4－x，

又因为BF＝OF＋OB＝OP＋OE＝PE＝PC，PC＝BC－BP＝3－x

PAGE36

所以，AF＝AB－BF＝4－(3－x)＝1＋x

在Rt△DAF中，AF2＋AD2＝DF2，也就是(1＋x)2＋32＝(4－x)2

3 3 3 17

解之得，x＝5，所以EF＝5，DF＝4－5＝5

AD 15

最终,在Rt△DAF中，cos∠ADF＝DF＝17

【点评】本题由题意可知，Rt△DCP≌Rt△DEP并推理出Rt△OEF≌Rt△OBP，寻找出合适的线段设未知数，运用勾股定理列方程求解，并代入求解出所求cos值即可得。

5（湖南省娄底市）如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则sinα﹣cosα=（）

A B﹣ C D﹣

【分析】分别求出大正方形和小正方形的边长，再利用勾股定理列式求出AC，然后根据正弦和余弦的定义即可求sinα和cosα的值，进而可求出sinα﹣cosα的值

【解答】解：∵小正方形面积为49，大正方形面积为169，

∴小正方形的边长是7，大正方形的边长是13，

在Rt△ABC中，AC2+BC2=